Окончил музыкальную школу по классу скрипки, ударные инструменты осваивал самостоятельно. В 1971 году стал выпускником Новосибирского медицинского института, после чего работал в НИИ туберкулёза. Музыкальную деятельность Сергей Андреевич начал в 1962 году, но известность пришла к нему во второй половине 1960-х: с 1965 по 1968 годы он играл в ансамбле Владимира Виттиха, ныне — самарского учёного и музыканта. В тот же период Беличенко организовал несколько фестивалей, которые состоялись в 1965 (первый джазовый фестиваль за Уралом), 1966, 1968, 1970 и 1971 годах. С 1971 по 1973 годы музыкант выступает в составе созданного им ансамбля «Джамин» (название расшифровывается как «джазовые миниатюры»), а в 1975 основывает Creative Jazz Unity, также известное как «Творческое джазовое объединение Новосибирска», вновь ставшее первой подобной формацией на азиатской территории страны. Также 1970-е годы ознаменовались созданием «Нового сибирского джазового ансамбля» и «Музыкального импровизационного трио» совместно с Владимиром Толкачёвым. При этом Беличенко продолжал вести медицинскую деятельность: статьи публиковались в медицинских изданиях, а сам он в 1979—1980 годах работал старшим судовым врачом в Дальневосточном морском пароходстве. Однако вскоре после окончания службы и основания фтизиоиммунологической лаборатории медицинская карьера была окончательно вытеснена музыкальной.
В 1980-х годах Беличенко создал один из своих наиболее известных ансамблей — «Снежные дети». В 1989 году ансамбль принял участие в фестивале «Современный советский джаз», состоявшемся в Цюрихе. На одну сцену с ансамблем Беличенко вышли такие исполнители, как Сергей Курёхин, трио Вячеслава Ганелина, Азиза Мустафа-заде, Три"О" и другие.
В 1992 году Сергей Андреевич открывает первую в Сибири частную радиостанцию «Ermatell» (впоследствии аналогичное название получила звукозаписывающая компания), а через два года начинает выпуск серии компакт-дисков «Джаз из Сибири». Вскоре был реанимирован проект «Снежные дети», после чего Беличенко создал несколько новых ансамблей — New Generation (с Романом Столяром, Владимиром Тимофеевым, Андреем Турыгиным и Дмитрием Аверченковым), Jazz Old Trio (с Игорем Дмитриевым) и Jazz Brothers. В 1996 году музыкант начал вести курс истории мирового джаза на кафедре Истории мировых культур Новосибирского государственного университета, а также стал заведующим отделом джаза Новосибирской государственной филармонии.
В 2004 году Сергей Беличенко защитил кандидатскую диссертацию на тему «Формирование новосибирской джазовой школы», а вскоре создал Сибирский институт джаза. В последние годы Беличенко издал несколько книг, посвящённых джазовой культуре. Для одной из них, «Синкопы на Оби», материал собирался более 25 лет. Трёхтомная «Дискография нового джаза», составленная совместно с журналистом Валерием Котельниковым, не издана, но её рукопись хранится в Королевской библиотеке в Лондоне. Беличенко продолжает активную деятельность в качестве музыканта и организатора.
Женат, отец троих детей. Член Союза литераторов и Союза журналистов России.