С. Д. Боткин родился в семье потомственных почётных граждан России. Его отец Дмитрий Петрович Боткин (1829—1889) был известным коллекционером картин иностранных художников. Жил в Москве и в семейном имении Тихий Хутор в Харьковской губернии, где и умер. Похоронен в Покровском монастыре в Москве. Был женат на Софии Сергеевне Мазуриной (умерла также в 1889 г.).
С. Д. Боткин в 1892 году окончил юридический факультет Московского университета и в том же 1892 году поступил на дипломатическую службу в Министерство иностранных дел. Сперва он был причислен к Азиатскому департаменту. В 1897 году он стал вторым секретарём русской миссии в Штутгарте. В 1900—1904 годы он был вторым секретарём русской миссии в Берне. В 1904—1909 годы он был сначала вторым, потом первым секретарём посольства в Вене. В 1909—1911 годы он был первым секретарём посольства в Константинополе. В 1911 году он был назначен первым секретарём посольства в Берлине, где в том же году вступил в Свято-Князь-Владимирское братство. Летом 1914 года он был повышен в звании и назначен посланником в Дармштадте, но из-за начала Первой мировой войны не успел вступить в эту должность, а должен был вместе с другими дипломатами из Берлина вернуться в Россию. В МИДе он во время войны в центральном аппарате возглавлял временный отдел по вопросам военнопленных. В 1919—1920 годы он был послом (белой) России (правительств Колчака и Деникина) в Берлине, где одновременно возглавлял Русский Красный Крест (до 1936 г.). В 1920—1936 годы в Берлине возглавлял Организацию защиты интересов русских беженцев в Германии (Vertrauensstelle fuer russische Fluechtlinge in Deutschland), чем он фактически представлял перед германскими властями всю русскую эмиграцию в Германии .
В 1924 году С. Д. Боткин стал председателем берлинского Свято-Князь-Владимирского братства, которое он ещё в 1923 году восстановил как юридическое лицо и официально зарегистрированную организацию. Он приложил немало усилий для того, чтобы закрепить за Братством всё его имущество.
Кроме того, С. Д. Боткин долгие годы был председателем Императорского Палестинского Общества.
После прихода к власти в Германии, национал-социалистические власти стали производить давление на русские эмигрантские организации, желая подчинить их своему контролю и заменить в них ненадёжных, с их точки зрения, людей . Против С. Д. Боткина начались вестись интриги со стороны князя Масальского, очерняющего его несправедливым образом во «франкофильстве» . С. Д. Боткин в 1934 году сперва уехал на курорт в Югославию, а затем в Париж, где он по состоянию здоровья остался. Когда он в 1936 году хотел вернуться в Берлин, германские власти, не только отказали ему в выдаче визы, но известили его и о «высылке» из Германии . Таким образом, С. Д. Боткину до конца жизни пришлось остаться в Париже. В том же 1936 году на место председателя русского бюро в Германии вместо него был избран генерал В. В. Бискупский, а новой председательницей Владимирского Братства была избрана княжна Вера Константиновна.
С. Д. Боткин умер в Париже и был похоронен на русском кладбище Сент-Женевьев-де-Буа.
С. Д. Боткин был женат на Нине Евгеньевне, рождённой Бюцовой, дочери русского дипломата Е. К. Бюцова.
Дочь С. Д. Боткина, графиня Нина Сергеевна Белевская-Жуковская (6 мая 1901 — 16 октября 1966), в 1926 г. вышла замуж за графа Сергея Алексеевича Белевского-Жуковского (1904—1953, умер в Лос-Анжелесе), потомка императора Александра II. Она скончалась в 1966 г. в Лозанне и до самой смерти сознательно оставалась членом Свято-Князь-Владимирского братства.
Двоюродный брат Сергея Боткина — лейб-медик Евгений Сергеевич Боткин, расстрелянный вместе с царской семьёй (их отцы, Дмитрий Петрович и Сергей Петрович, были братьями, сыновьями Петра Кононовича Боткина (1781—1853), основателя чайной фирмы в Москве).