Из дворян, сын офицера. Окончил Морской кадетский корпус (1900), курс в Морской учебно-стрелковой команде (1902), Минный офицерский класс (1903). Ученик изобретателя радио А. С. Попова (доставил в Порт-Артур радиостанции «Попов — Дюкрете», по некоторым сведениям, за 3 дня до боя «Варяга» с японской эскадрой была осуществлена попытка радиосвязи между крейсером и Порт-Артуром).
С 1903 года — в Порт-Артуре, мичман, старший минный офицер на минном заградителе «Енисей». На второй день русско-японской войны при постановке минного заграждения в бухте Талиеван на подступах к порту Дальний «Енисей» был снесён течением на свои мины, взорвался и затонул, погибли командир, три офицера и 92 человека команды. С. Н. Власьев был тяжело ранен, спасён и вскоре его перевели на броненосец «Пересвет». Младший минный офицер эскадренного броненосца «Цесаревич» (6 февраля — 9 апреля 1904), затем «Победа» «…с заведованием установкой новых станций беспроволочного телеграфирования, пребывающих из России…», 28 апреля 1904 г. командирован для установки такой станции на Ляотешане. Участвовал в тралении рейда Порт Артур на минных паровых катерах эскадренного броненосца «Победа». Участвовал в боевых действиях на море, несколько раз вызывался добровольцем на постановку минных заграждений «с плотиков». Участвовал в ремонте и модернизации подводной лодки системы Джевецкого (командир мичман Б. П. Дудоров), построенной в 1881 году и доставленной в Порт-Артур в 1900 году по настоянию контр-адмирала В. К. Витгефта. Просьба Власьева о выходе на ней в море была отклонена контр-адмиралом Р. Н. Виреном. Не желая бездействовать, выпросил для себя направление в состав второго морского десанта. Осенью 1904 г. в составе команды матросов был направлен на сухопутный фронт в форт № 2, и в сентябре совместно с начальником артиллерийских мастерских крепости капитаном Л. Н. Гобято изобрёл миномет и успешно его применил. Накануне капитуляции Порт-Артура С. Н. Власьев в ночь на 2 января 1905 г. прорвался на минном катере в китайский порт Чифу.
За храбрость в этой войне он был награждён: орден Св. Анны 4-й степени с надписью «За храбрость», Св. Станислава 3-й степени с мечами и бантом, Св. Анны 3-й степени с мечами и бантом, Св. Владимир 4-й степени с мечами и бантом и серебряной медалью Памяти русско-японской войны.
В 1906 году в числе семи офицеров отобран в Учебный отряд подводного плавания (создан 27 марта 1906 года, командир — Э. Н. Щенснович). С 1906 г. Власьев командир подводной лодки «Макрель», с 1907 г. —- подводной лодки «Пескарь». 7 декабря 1907 г. в чине лейтенанта двадцать пятым зачислен в первый список офицеров подводного плавания.
Идея подводных лодок не находила поддержки в руководстве флота, в частности их противником был капитан-лейтенант А. В. Колчак: «Идея замены современного линейного флота подводным может увлечь только дилетантов военного дела… Специально минный или подводный флот — фиктивная сила…» . В конце 1907 года Власьев выступил в защиту подводного флота с докладом «Отчет командира подводной лодки „Пескарь“ о плаваниях и маневрах», и получил «высочайший» выговор от Николая II за то, что «вмешивался в прерогативы, ему не принадлежащие». Тем не менее (помогло и заступничество крупнейшего русского кораблестроителя, академика А. Н. Крылова) в 1907 году Власьев назначен командиром строящейся лодки «Акула», самой крупной и современной на то время, участвовал в проектировании минного вооружения. Ему принадлежит инициатива группового использования подводных лодок в боевых операциях, разработка новых методик ведения боя.
За усилия в развитии подводного плавания в 1910 г. был награждён орденом Станислава 2-й степени. 6 декабря 1912 г. за отличие по службе ему присвоено звание капитана 2-го ранга. В 1914 г. он награждён нагрудным знаком защитника крепости Порт-Артур.
В Первую мировой войну командуя «Акулой» совершил несколько боевых выходов в море. 26 августа (8 сентября) 1914 произошла первая атака русской подводной лодки (кап. С. Н. Власьев) в Первой мировой войне. «Акула» выстрелила одной торпедой по приближающимся миноносцам, что заставило их отойти и временно отказаться от таранного удара. Пропала «Акула» в 1915 под командованием одного из лучших русских подводников Н. А. Гудима (Гудина).
В марте 1915 г. командующий Балтийским флотом наградил Власьева боевым орденом «За отличное несение дозорной службы в районе боевых действий». В 1915 г. назначен командиром 5-го дивизиона подводных лодок Балтийского флота. С конца мая 1915 г. назначен командиром заградителя «Нарова», в августе 1915 г. переведён в транспортную флотилию Черноморского флота, в 1916 году в 1-м Балтийском флотском экипаже (эти перемещения являлись последствием некоего проступка, подробности о котором неизвестны).
В Гражданскую войну находился на Юге России в Добровольческой армии и Вооружённых Силах Юга России. В ноябре 1918 г. — начальник морской обороны Отдельной Одесской добровольческой бригады. В январе 1919 года в Одессе по приказу Главнокомандующего Вооруженными Силами Юга России начинается формирование 2-го отряда судов для действий на реках, в феврале начальником отряда назначается капитан 2-го ранга С. Н. Власьев. В августе 1919 г. в Севастополе участвовал в работе комиссии по приёмке от союзников кораблей Черноморского флота. В приказах на июль 1920 г. именуется капитаном 1-го ранга.
В ноябре 1920 г. на корабле «Дооб» эвакуировался из Крыма в Константинополь, где состоял членом Союза (русских) морских офицеров. В ноябре 1922 года капитан 1-го ранга С. Н. Власьев возглавлял переход русских тральщиков и буксиров, реквизированных французским правительством, из Константинополя в Марсель. С 1923 г. обосновался в Париже, работал таксистом. В 1928 г. член Военно-морского исторического кружка в Париже, в 1932 г. вышел из Кают-компании в Париже в Морское Собрание. После окончания Второй мировой войны в Париже получил советский паспорт. Скончался 3 сентября 1955 г. и погребен на русском кладбище Сент-Женевьев-де-Буа.
Прадед: Павел Гурьевич. Дед: Павел Павлович (имение Щекино Ярославской губернии). Отец: Николай Павлович. Жена — Наталия Полозова. Дети: Елена, Евгений.