Родился 15 июля 1911 года в селе Полдневая Пермской губернии (ныне — Полевского городского округа Свердловской области) в семье железнодорожника. В дальнейшем семья переехала в Пермь. После окончания в 1931 году школы пилотов гражданского воздушного флота Даньщин работал командиром экипажа на воздушной магистрали Москва — Иркутск. Член ВКП(б) с 1942 года.
После начала Великой Отечественной войны, в июле 1941 года, добровольцем ушел в Красную Армию. Воевал в дальней бомбардировочной авиации. В качестве командира экипажа бомбардировщика совершил 201 боевой вылет(из них 196 — ночью), участвовал в нанесении бомбовых ударов по военным объектам Берлина, Будапешта, Бухареста. Участник Сталинградской битвы. За образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленное при этом мужество и героизм 25 марта 1943 года Сергею Петровичу Даньщину было присвоено звание Героя Советского Союза. В ночь на 11 сентября 1943 года экипаж гвардии майора Даньщина не вернулся с выполнения боевого задания.
Имя Сергея Даньщина было присвоено пассажирскому теплоходу типа «Ерофей Хабаров» Камского речного пароходства, а также улице в Перми. Установлены мемориальные доски на здании Камского речного пароходства, а также у входа на завод «Коммунар». Также имя Сергея Петровича Даньщина значится на мемориальном комплексе «Пермяки — Герои Советского Союза».