Аспиликуэта — воспитанник кантеры «Осасуны». 8 апреля 2007 года дебютировал в Примере в матче с мадридским «Реалом» (0-2), параллельно оставаясь в составе второй команды. Первоначально играл на позиции полузащитника.
В сезоне 2007—2008 Сесар успешно заменял травмированных одноклубников, к концу чемпионата занял место в основе команды (29 матчей в Примере) и переквалифицировался в латераля. В сезоне 2008—2009 Аспиликуэта стабильно выходил на поле в стартовом составе, а в чемпионате 2009—2010 стал одним из ведущих игроков «Осасуны», сыграв во всех 38-и матчах Примеры без замен. Игра молодого защитника привлекла внимание Висенте дель Боске, который включил его в расширенную заявку сборной Испании на чемпионат мира 2010.
По появившимся в июне 2010 года слухам игрок вошёл в сферу интересов французского «Марселя», а «Осасуна», ввиду плохого финансового состояния клуба, тоже была заинтересована в трансфере. 21 июня официальный сайт «Олимпика» объявил о переходе игрока. Сумма сделки составила 7 млн евро, которая может быть увеличена до 9,5 с учётом бонусов.
Аспиликуэта вызывался в сборные Испании различных возрастов. С юношеской командой Сесар стал победителем чемпионата Европы 2007. В составе «молодёжки» сыграл 3 матча на неудачном для испанцев чемпионате Европы 2009 года — команда не смогла выйти из группы.
11 мая 2010 года наставник главной сборной Испании Висенте дель Боске включил Аспиликуэту в расширенную заявку из 30-и футболистов на чемпионат мира 2010,но в итоге на мундиаль Сесар не попал. 20-летний защитник являлся самым молодым после Давида де Хеа игроком в списке.