Шамиль Бурзиев — воспитанник дагестанского футбола. В возрасте 16-ти лет он начал выступать за «Анжи», в первенстве молодёжных команд, за который в дебютный сезон провёл 18 матчей. 1 ноября 2003 году состоялся дебют Шамиля в Первом дивизионе, в выездном матче против нальчикского «Спартака» на 70-й минуте он вышел на замену, вместо Виллера Оливейры на 86-й минуте отметился жёлтой карточкой. В следующем сезоне Бурзиев сыграл 9 матчей. В 2005 году оказался в махачкалинском «Динамо», за которое за два сезона провёл 42 матча в Первом дивизионе и 6 игр в Кубке России, но после того, как «Динамо» лишили профессионального статуса, был вынужден искать новую команду. В 2007 году Бурзиев отправился в Новороссийск, где в составе «Черноморца» стал победителем Второго дивизиона, сыграл 25 матчей, забил 1 гол. В 2008 году Шамиль подписал контракт со ставропольским «Динамо», однако сезон 2009 года начал снова в «Черноморце». В первом же матче против калининградской «Балтики» за два предупреждения удостоился удаления, однако сам футболист остался недоволен таким решением судьи. В начале 2010 года играл в «Факеле» из Воронежа. В августе 2010 года «Анжи» дозаявил Бурзиева и Игоря Стрелкова. В Премьер-лиге дебютировал 7 августа 2010 года в матче против пермского «Амкара», выйдя на замену Али Гаджибекову, в той игре он получил жёлтую карточку. Всего в Премьер-лиге сыграл 7 матчей.
5 декабря 2010 после мавлида по случаю рождения ребёнка погиб в автокатастрофе на трассе «Кавказ» недалеко от Кизилюрта, вместе с ним в автомобиле «Лада» находились ещё несколько человек, которых он отвозил домой.