С. И. Чиковани родился 27 декабря 1902 года (9 января 1903 года) в селе Наэсаково (ныне Мартвильского муниципалитета Грузии) в дворянской семье. Закончил реальное училище в Кутаиси, затем — филологический факультет Тбилисского университета. Начал публиковаться в 1924 году, был близок к символистской группе Голубые роги, позже примкнул к футуристам, возглавлял литературную группу «Мемарцхенеоба» («Левый край»). В 1930-е годы отошел от поэтического радикализма. От футуристического экспериментаторства пришёл к классической стройности стиха и остросовременной проблематике: революционное преобразование Грузии, интернациональная солидарность. В своих стихах поэт реалистически изображает обновлённую социалистическую республику, раскрывает богатый духовный мир советского человека («Ушгульский комсомол», «Мингрельские вечера», «Вечер застаёт в Хахмати» и др.). Философское осмысление судьбы Н. М. Бараташвили в лирико-эпическом цикле «Гянджинская тетрадь» (1964—1965).
Главный редактор журнала Мнатоби (1954—1960). Автор эссе о мировой литературе, переводчик русской и украинской поэзии. В 1944—1951 руководил СП Грузинской ССР. Депутат ВС СССР 2—3 созывов (1950—1954).
С. И. Чиковани умер 24 апреля 1966 года. Похоронен в Тбилиси в пантеоне Мтацминда.
Стихи С. И. Чиковани переводили на русский язык Борис Пастернак, Николай Тихонов, Павел Антокольский, Николай Заболоцкий, Александр Межиров, Арсений Тарковский, Белла Ахмадулина, Евгений Евтушенко и другие. Русские поэты посвящали ему стихи (А. А. Тарковский, Б. А. Ахмадулина). Опубликованы письма Пастернака, адресованные Чиковани.