Впервые заявил о себе в 1981 году, когда стал чемпионом Москвы. На юношеском чемпионате Европы (1981/82) занял третье место. Занимался под руководством В. Юркова.
В 1984 году стал чемпионом СССР. В следующем году (1985) разделил 4-6-е место.
В 1985 году разделил 1-3-е место с А.Юсуповым и Р. Ваганяном на турнире претендентов (Монпелье, 1985). В 1986 г. выиграл матчи претендентов, победив в 1/2 финала Р.Ваганяна - 6:2 (Минск), а в финале - А. Юсупова - 7,5:6,5 (Рига) и завоевал право сыграть в суперфинальном матче претендентов с А.Карповым, победитель которого становился соперником Г.Каспарова в матче на первенство мира 1987 г. Матч с А.Карповым состоялся в Линаресе в 1987 г. и закончился поражением Соколова 3,5:7,5 (-4=7).
В следующем цикле А.Соколов участвовал в матчах претендентов и проиграл в 1/8 финала К.Спрагетту 5,5:6,5 (Сент-Джон, 1988 г.). Участник межзональных турниров: Биль, 1985 г.(3 место), Манила, 1990 г. (29-39-е место).
В составе сборной СССР победитель Всемирных шахматных Олимпиад (1984,1986), командного чемпионата мира (1985). С 2000 года живет и выступает за Францию.
За достижения в области шахмат награждён медалью «За трудовое отличие» (1985).