Родился 14 октября 1965 года в Манчестере (Великобритания). Его родители были ирландцами; Стив — третий из шести детей в семье. Получил актёрское образование в школе театра Манчестерского политехнического института.
По окончании театральной школы начал карьеру актёра в качестве эстрадного комика, работал в комедийных программах на радио и телевидении. Долгое время работал в «Spitting Image» («Точная копия») — кукольном телесериале, где карикатурно изображались известные политики и культурные деятели.
В 1992 получил премию «Перье» за программу «Стив Куган и Джон Томпсон». Особую популярность ему принёс сериал «Я — Алан Партридж» («I’m Alan Partridge», 1997—2002).
Многочисленные роли, исполненные Куганом для малого экрана, принесли ему широкую известность и ряд престижных премий, в том числе Британской академии кино и телевидения.
Первой работой Кугана в «большом» кино стал фильм «Воскресшие» («Resurrected», 1989). Спустя несколько лет последовали картины «Индеец в шкафу» («Indian in the Cupboard», 1995) и «Ветер в ивах» («The Wind in the Willows», 1996)
В 2001 Куган основал компанию «Baby Cow Productions». К первому фильму, выпущенному студией, Куган сам написал сценарий (в соавторстве с партнёром Гарри Нормалом). Фильм «Надзиратель» («The Parole Officer», 2001), поставленный режиссёром Джоном Дьюиганом, стал одним из самых кассовых фильмов года в Англии.
В 2002 году на экраны вышел фильм Майкла Уинтерботтома «Круглосуточные тусовщики» («24 Hour Party People»), где Куган исполнил роль Тони Уилсона, создателя манчестерского лейбла Factory Records.
Куган дважды играл самого себя: первый раз в «Кофе и сигаретах» Джима Джармуша («Coffee and cigarettes», 2003), а второй — в постмодернистской картине «Тристрам Шенди: История петушка и бычка» («Cock and Bull Story», 2005), экранизации книги «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена» Лоренса Стерна.