Фёдор Игнатьевич родился в 1843 году в Речицком уезде Минской губернии (ныне Гомельская область, Белоруссия). Происходил из белорусского шляхетского рода герба "Сулима".В 1862 году поступил в Нежинский юридический лицей. Будучи студентом, выступал с успехом как певец в публичных концертах. Окончив курс в 1869 году, Стравинский поступил в Петербургскую консерваторию. Там он занимался в классах пения Эрит Виардо, П. Репетто, Ниссен-Саломан и К. Эверарди.
Окончив консерваторию в 1873 году, дебютировал в Киеве на сцене оперного театра, где пел до 1876 года. После этого он переехал обратно в Санкт-Петербург, стал солистом Мариинского тетра, в котором проработал до конца своей жизни.
17 июня 1882 году в Ораниенбуме у Фёдора Игнатьевича родился сын — Игорь Фёдорович Стравинский, в будущем знаменитый композитор.
В 1901 году торжественно праздновался 25-летний юбилей творческой деятельности Стравинского, на котором ему было пожаловано звание «заслуженного артиста». Через год Стравинский умер в возрасте 59 лет. В 1915 году в Мариинском театре установлен бюст певца.
Продолжил традиции О. А. Петрова.
Существует мнение, что голос Стравинского, хотя и имел большой диапазон (свыше двух октав), но «не обладал природной красотой тембра; мягкую певучесть, выравненность регистров, разнообразие вокально-декламационных красок певец приобрёл благодаря вдумчивому, упорному труду».
Из 59 опер, вошедших в репертуар Ф. И. Стравинского, 31 принадлежит перу русских авторов. Федор Игнатьевич — мастерски исполнял характерные эпизодические роли, способствовал развитию отечественного оперного искусства, один из наиболее выдающихся предшественников Шаляпина.
Яркие, типические, разнохарактерные сценические образы создал Стравинский в операх русских композиторов: