Карьеру футболиста Бамба начал во французском клубе «Пари Сен-Жермен», но закрепиться в составе парижан не смог и в 2006 году уехал в Шотландию, где стал игроком «Данфермлин Атлетик». Два года спустя перебрался в стан эдинбургского «Хайберниана». В начале 2011 года подписал контракт с английским клубом «Лестер Сити».
С 2008 года выступает за различные сборные Кот-д’Ивуара, участник футбольного турнира Олимпийских игр 2008 года, Кубка африканских наций 2010 и 2012. Бамба был в составе ивуарийцев на чемпионате мира 2010, однако не провёл на этом турнире ни одного матча.
Футбольное образование Сол получил во французском клубе «Пари Сен-Жермен», в Академию которого он поступил в 14-летнем возрасте. Неплохо показав себя за юношей и дубль «ПСЖ», в 2004 году Бамба подписал с парижанами свой первый профессиональный контракт. Однако пробиться в основной состав клуба ивуарийцу не удалось — за два года, проведённых в первой команде, он сыграл всего один матч. К тому же бывший в то время главным тренером парижан, Вахид Халилходжич, в одном из интервью заявил, что не видит Бамба в «Пари Сен-Жермене» и посоветовал ему сменить команду.
В июле 2006 года, успешно пройдя просмотр в клубе «Данфермлин Атлетик», Сол подписал с шотландцами 2-летнее соглашение о сотрудничестве. Впоследствии бывший наставник «Атлетик», Джим Лишман, признавался, что намеревался приобрести для своей команды другого игрока из французского чемпионата, однако после того, как переговоры по нему провалились, агент ивуарийца уговорил главного тренера просмотреть Бамба. Сол смог быстро убедить шотландского специалиста в целесообразности своего перехода в «Данфермлин», выдав блестящую игру в товарищеской встрече против «Селтика», в которой он «наглухо» закрыл валлийского нападающего «кельтов» Джона Хартсона. В следующем выставочном поединке, с испанской «Осасуной», Бамба, выйдя на замену, вновь показал свою нужность шотландцам — несколько раз спасая свою команду от верного гола.
За свою игру в сезоне 2006/07 Сол удостоился самых лестных отзывов от британских болельщиков и футбольных специалистов. Во многом благодаря отличной игре защитных порядков «Атлетик» во главе с ивуарийцем «Данфермлин» смог дойти до финала Кубка страны, где однако проиграл «Селтику» со счётом 0:1. Но даже это не спасло команду Бамба от вылета из Высшего дивизиона Шотландии в том же году.
В межсезонье, несмотря на большое количество предложений от клубов английской и шотландской Премьер-лиг, Сол продемонстрировал преданность своему клубу, подписав с «Атлетик» новый 2-летний контракт. По мнению многих специалистов это было большой ошибкой ивуарийца, который словно поддавшись унылому настроению в команде, провёл сезон более чем средне.
В июле 2008 года Бамба отправился в Англию на просмотр в клуб «Уотфорд», сыграл в выставочном матче «жёлтой армии» против «Борхэм Вуд». Главный тренер хартфордширской команды, Джим Макинтайр, остался доволен ивуарийцем и выразил надежду, что англичане смогут договориться с «Данфермлином» о трансфере Сола в свои ряды. Однако, когда сделка была уже практически свершившимся фактом, «Уотфорд» по неизвестным причинам отказался приобретать Бамба у «Атлетик».
В августе 2008 года «Данфермлин» принял предложения шотландских клубов, «Хайберниана» и «Мотеруэлла», которые предложили одинаковую сумму, 50 тысяч фунтов стерлингов, за приобретение прав на ивуарийца. В официальном пресс-релизе «Атлетик» говорилось, что игрок теперь сам должен решить, где хочет играть.
1 сентября 2008 года Бамба официально стал игроком «Хайберниана», подписав с «хибс» 3-летний контракт.
13 сентября этого же года Сол дебютировал в составе своей новой команды в поединке эдинбуржцев с «Данди Юнайтед». Первый «блин» вышел «комом» — Бамба был удалён с поля за две жёлтые карточки 68-й минуте поединка. Тем не менее ивуариец быстро завоевал место в основном составе «Хайберниана».
7 декабря этого же года Бамба вследствие травмы центральных полузащитников клуба был вынужденно поставлен наставником «хибс», Микой Паателайненом, на позицию опорного хавбека на принципиальный матч эдинбуржцев против «Селтика». С ролью «волнореза» «кельтских» атак Сол справился блестяще, став одним из творцов успеха «Хайберниана», победившего в этой встрече со счётом 2:0. Паателайнен в послематчевом интервью отметил ивуарийца, сказав что тот добился «заметного игрового прогресса со времени своего переезда в Эдинбург». С этого поединка Сол стал основным опорным полузащитником клуба.
Вскоре Бамба за свою честную, бескомпромиссную игру заслужил уважение всей шотландской футбольной общественности, которая комментировала поведение Сола на поле так:
В 2009 году новый тренер «Хайберниана», Джон Хьюз, перевёл Сола обратно на позицию центрального защитника вследствие продажи лидера защитной линии «хибс», Роба Джонса.
22 августа, поразив ворота «Фалкирка» на одноимённом стадионе, Бамба забил свой первый гол в профессиональной карьере. Примечательно, что второй гол в эдинбургском клубе, который он забил 27 марта 2010 года, ивуариец провёл в ворота того же клуба, на той футбольной арене и «Хайберниан» победил с тем же счётом — 3:1.
8 мая 2010 года в прессе появились сообщения, что игра Сола в Эдинбурге не осталась незамеченной, и им заинтересовались английский «Фулхэм» и французский «Ренн», однако дальше слухов дело не пошло.
В июле того же года Бамба без предупреждения не явился из отпуска в тренировочный лагерь «Хайберниана» в Нидерландах, где команда готовилась к новому сезону. Главный тренер «хибс», Джон Хьюз, подверг ивуарийца за этот проступок жёсткой критике. Сол в одном из интервью мотивировал своё поведение тем, что что он не смог восстановиться после чемпионата мира, поэтому и решил задержаться на отдыхе. Наставника «бело-зелёных» объяснения Бамба не удовлетворили, и он перевёл футболиста в дублирующую команду эдинбургцев. Спустя две недели ивуариец был возвращён в основной состав «Хайберниана» и 5 августа принял участие в матче Лиги Европы, в котором «хибс» встречались со словенским «Марибором».
В конце 2010 года в прессе появились сообщения, что Бамба намерен покинуть Эдинбург в предстоящее зимнее трансферное окно, не сумев договориться с руководством «Хайберниана» о новом контракте. Текущее соглашение о сотрудничестве между ивуарийцем и «хибс» истекало летом 2011 года, поэтому «бело-зелёные» объявили о том, что защитник вправе вести переговоры с любыми коллективами. В итоге после краткосрочных переговоров 2 января 2011 года Бамба подписал контракт с английским клубом «Лестер Сити», представляющим Чемпионшип. Сумма сделки не разглашалась.
Дебют Сола в первом составе «лис» состоялся 9 января — в тот день «Лестер» в рамках Третьего раунда Кубка Англии встречался с «Манчестер Сити». Уже на 45-й секунде матча ивуарец после навеса с фланга оказался самым расторопным в штрафной площади «горожан», переправив мяч в сетку. Сам поединок закончился с ничейным результатом 2:2. Главный тренер «Лестера» Свен-Ёран Эрикссон высоко оценил действия Сола в его дебютной игре, сказав следующее:
22 января Сол продолжил оправдывать, выданные ему авансы — его «дубль» в ворота «Миллуолла» принёс победу «Лестеру» со счётом 4:2.
(откорректировано по состоянию на 7 апреля 2012)
Родители Бамбы — ивуарицы, эмигрировавшие из Кот-д’Ивуара во Францию, поэтому для Сола не составило проблем, уже имея французский паспорт, стать гражданином и страны с Берега Слоновой Кости.
Выступая с юного возраста за различные молодёжные сборные «слонов», Бамба принял участие в таких турнирах, как юношеский чемпионат Африки 2005 года, чемпионат мира среди молодёжных команд 2007 года, Турнир Тулона 2008 года.
В том же, 2008 году, Сол с олимпийской сборной Кот-д’Ивуара дошёл до четвертьфинала футбольного турнира Олимпийских игр, проходивших в столице Китая — Пекине.
19 ноября 2008 года Бамба дебютировал в первой сборной своей страны в матче, где «слоны» в товарищеском поединке сыграли в ничью 2:2 с командой Израиля. 11 февраля 2009 года Сол сыграл свой второй матч за команду Берега Слоновой Кости — в этот день африканцы встречались с турками. В своей третьей игре за «слонов» Бамба дебютировал в стартовом составе сборной — случилось это 29 марта 2009 года в отборочном поединке к чемпионату мира 2010, в котором Кот-д’Ивуар соперничал с Малави. Этот матч «памятен» ещё и тем, что перед началом состязания в давке, образовавшейся перед входом на стадион «Уфуэ Боиньи», погибло 22 болельщика команды Берега Слоновой Кости.
Сол завоевал место в основном составе сборной в отборочных играх к Кубку африканский наций 2010 и мировому первенству того же года.
7 января 2010 года Бамба забил свой первый гол в национальной команде, поразив в выставочном поединке ворота Руанды. На Кубке африканских наций 2010 Сол провёл все три матча своей сборной, которая в четвертьфинале лишь в дополнительное время уступила Алжиру — 2:3. Главной причиной неудачного выступления ивуарийцев в прессе называлось отсутствие взаимопонимания между парой центральных защитников африканцев Бамба и Коло Туре.
Соревнование было омрачено расстрелом автобуса национальной команды Того, которая в итоге снялась с розыгрыша. Угрозы расправы также поступали и в адрес ивуарийцев.
Наставник сборной Кот-д’Ивуара, Вахид Халилходжич, с которым Сол работал ещё в «Пари Сен-Жермене», был уволен вскоре после Кубка африканских наций. Новый главный тренер «слонов», Свен-Ёран Эрикссон, 11 мая включил ивуарийца в расширенный список национальной команды, едущей в ЮАР на мундиаль.
30 мая, в первом же матче сборной Кот-д’Ивуара под руководством знаменитого шведского специалиста Сол сумел забить гол, поразив ворота Парагв