Алексей Султанов родился 7 августа 1969 года в Ташкенте в семье известных музыкантов Файзулхака Абдулхаковича Султанова и Наталии Михайловны Погореловой. Внук известной узбекской актрисы Замиры Хидоятовой.
С четырёх лет Султанов учился в Республиканской музыкальной школе у педагога Тамары Попович. Впервые Алексей вышел на сцену в возрасте 7 лет, исполнив с оркестром Концерт № 28 Моцарта. Концертировал с 8-летнего возраста. В 15 лет стал лауреатом Премии Комсомола Узбекистана. Поступил в Московскую консерваторию в класс Льва Наумова. В 1986 году, на VIII Международном конкурсе имени Чайковского в Москве 16-летний Алексей Султанов – фаворит конкурса. За час до жеребьевки во время разыгрывания, Алексей уронил крышку рояля на руку – врач констатировал перелом пальца. Султанов решил играть, за кулисами врач делал обезболивание. По консерватории моментально разнеслось: «Какой-то мальчик играет программу со сломанным пальцем! Ему анестезию делают, как футболисту» Публика, узнав о случившемся, все два тура долго хлопала после выступлений. В жюри, однако, решили, что нельзя рисковать рукой и отстранили музыканта от финала. В 1989 году стал победителем Международного конкурса пианистов имени Вана Клиберна, после чего получил огромное количество гастрольных приглашений. В 1990 году ушёл с третьего курса консерватории, в 1991 году переехал в США.
В дальнейшем Султанов дважды участвовал в крупных международных конкурсах, и оба раза это участие сопровождалось скандалом. В 1995 году жюри Конкурса пианистов имени Шопена решило присудить Султанову вторую премию, а первую не присуждать; Султанов отказался получать диплом второй степени, после чего у 26-летнего пианиста произошёл инсульт. В 1998 году жюри Международного конкурса имени Чайковского сочло исполнение Султановым Седьмой сонаты С. С. Прокофьева излишне вольным и темпераментным и не допустило его в третий тур, что вызвало резкую реакцию прессы.
В 2001 году Султанов перенёс второй инсульт с параличом левой стороны тела. Он продолжал выступать с благотворительными концертами, в которых ему помогала жена, в прошлом виолончелистка Даце Абеле, исполнявшая партии левой руки.
По темпераменту Султанов тяготел к романтическому и постромантическому репертуару. Его основные записи включают произведения Ф. Шопена, Ф. Листа, С. Рахманинова, А. Скрябина. Искусство Алексея Султанова отличает невероятной силы экспрессия, полная самоотдача и потрясающая проникновенность лирических образов.