Родился в семье председателя правления русского товарищества «Нефть», потомственного польского дворянина, графа Петра Шелиги-Сувчинского. Детство провел в родовом имении под Полтавой.
Закончил Петербургский университет, брал уроки фортепиано и вокала, готовился стать оперным певцом. Был близок к Миру искусства, встречался с Вс.Мейерхольдом, С.Дягилевым, А.Блоком. Один из основателей и издателей петербургского журнала «Музыкальный современник» (1915-1917). С 1918 за рубежом (Берлин, София, Париж). В 1921 участвовал в первом евразийском сборнике «Исход к Востоку», был одним из редакторов журнала «Версты» (1926–1928). Дружил с А.Н.Римским-Корсаковым, Мясковским, Прокофьевым, Ремизовым, Карсавиным (он был женат на дочери Карсавина Марианне), Стравинским (помогал последнему в его работе над книгой «Музыкальная поэтика», 1942), Арто, Поланом, Мишо, Шаром. Писал либретто для Мясковского и Прокофьева. Оставил эссе о Розанове, Ремизове, Блоке.
В 1932 подал прошение о советской визе, но получил отказ. В 1937 всё же посетил СССР и был глубоко разочарован культурной политикой. В 1946 после некоторых колебаний принял окончательное решение не возвращаться в Россию.
После Второй мировой войны пропагандировал музыку Мессиана, Штокхаузена, Булеза. Вместе с Булезом и Жаном-Луи Барро основал в 1953 общество «Музыкальное достояние» (фр. La Domaine musicale), концерты которого, посвященные современным композиторам, в том числе - российским (Э.Денисов и др.), были на протяжении двадцати лет значимыми событиями в музыкальной жизни Франции. Известна переписка Сувчинского с М.Горьким, М.Цветаевой, Б.Пастернаком, М.Юдиной, Б. де Шлёцером.
Давал частные уроки фортепиано, среди его учеников — Геза Анда.