Сюзанн родилась в Бруклине в русско-еврейской семье. Её мать Джеральдин (урождённая Каплан) была танцовщицей и художницей, выступавшей под псевдонимом Джеральдин Риверз. Её отец Эужен Плешетт был режиссёром и менеджером в бруклинском театре «Парамаунт». Сюзанн обучалась в «Высшей школе исполнительских видов искусства Манхэтена», а затем окончила университет Сиракьюс.
Сюзанн начала актёрскую карьеру в 1957 году на Бродвее в постановке Майера Левина «Принуждение». Двумя годами позже она сыграла в комедии «Золотое руно» с Томом Постоном в главной роли, который через много лет стал её мужем.
Вскоро после дебюта на Бродвее началась и кинокарьера Сюзанн. Её первыми фильмами были «Мальчик гейша», «Римское приключение», «Судьба-охотник», но более всего в это время она запомнилась по роли учительницы Энни Хейворт в культовом фильме Альфреда Хичкока «Птицы». Она также много работала на телевидении. Первыми сериалама с её участием были «Театр 90», «Альфред Хичкок представляет», «Бен Кэйси» и «Доктор Килдэр», за роль в котором она была номинирована на «Эмми».
Плешетт была постоянным гостем в «Шоу Боба Ньюхарта» (1972—1978) на протяжении все шести сезонов показа и дважды выдвигалась на «Эмми» в номинации «Лучшая комедийная актриса».
Она также дублировала голоса Юбаба и Дзениба в английской версии японского мультфильма «Унесённые призраками», а также Зиру в диснеевсом мультфильме «Король-лев 2: Гордость Симбы».
В 1964 году Сюзанн вышла замуж за актёра Троя Донахью с которым снималась в фильме «Римское приключение». Этот брак был не долгим — через 8 месяцев они развелись. Её вторым мужем был техасский нефтяник Томми Галлахер, с которым она прожила с 1968 года до его смерти в 2000 году. В 2001 она вновь вышла замуж. Её избранником стал коллега по «Шоу Бобби Ньюхарта» Том Постон, который умер в 2007 году.
В августе 2006 году у Сюзанн обнаружили рак. Она была тут же госпитализированна. После химиотерапии и амбулаторного лечения, её агент, Джоэль Дин заявил, что болезнь была обнаруженна вовремя и что с Сюзанн всё будет хорошо. Но позже она вновь была госпитализирована, на этот раз с лёгочной инфекцией. В сентябре 2007 года она приняла участие во встрече, посвящённой «Шоу Боба Ньюхарта». Сюзанн привезли туда в инвалидной коляске и это вызвало беспокойство публики о состоянии её здоровья. Она же уверила всех, что вскоре излечится от рака, так как ей недавно была сделана успешная операция.
31 января было запланировано открытие звезды Сюзанн Плашетт на Голливудской аллее славы, приуроченное к её 71 дню рождения. Но несмотря на лечение и удачную операцию Сюзанн не удалось спасти. Она скончалась 17 января 2008 году от лёгочной недостаточности в своём доме в Лос-Анджелесе в возрасте 70 лет.