Сын органиста. Вскоре после его рождения семья переехала в Амстердам, где отец занял пост органиста Старой Церкви. У него Свелинк и получил первые уроки музыки, а потом служил органистом в той же церкви.
Виртуоз импровизации, прозванный за это амстердамским Орфеем. Мастер вокальной музыки, автор более 250 вокальных сочинений. Как педагог был назван «изготовителем органистов», среди его учеников Михаэль Преториус, Самуэль Шейдт, Петрус Хассе.
Макс Зайферт опубликовал диссертацию «Я. П. Свелинк и его прямые германские ученики» (нем. «J. Р. Sweelinck und seine directen deutschen Sch?ler», 1891 год).