Тимофей Мягков родился в июне 1811 года в селе Тёплое Лебедянского уезда Тамбовской губернии. Числился как вольноотпущенный из государственных крестьян. Поступил в Московское училище живописи, ваяния и зодчества, где учился, видимо, в период от 1833 до 1842 года. Первое время жил у художника Максимова Алексея Максимовича. Учебу в Москве совмещал с работой — расписывал храмы в Тамбовской и Рязанской губерниях и выполнял портреты местных помещиков, купцов и священнослужителей. В 1842 году от Императорской Академии художеств получил звание неклассного художника (за номером семь) за картину «Старуха с девушкой, подающей милостыню мальчику» — «во внимание к хорошим познаниям в живописи исторической и портретной». В 1843 принимал участие в выставке ученических работ, устроенной по случаю создания Московского училища живописи, ваяния и зодчества и был отмечен как «обещающий быть портретистом отличным». В 1845 Мягков был награжден серебряной медалью второго достоинства за работу «Семейство за чайным столом» («Семейная сцена», «Семейный портрет» — портрет семьи Загряжских) и портрет г-на Загряжского. Тимофей Егорович много работал в церквях и храмах Москвы и других городов, таких как Тула, Тверь, Елец, Задонск, Лебедянь. Имел собственный дом в Москве на Выползовом переулке. Дочь Мягкова, Екатерина, вышла замуж за художника Колесова Алексея Михайловича. Скончался Тимофей Егорович Мягков в Москве 4 (21) января 1865 и был похоронен на Лазаревском кладбище в Москве.
Большая часть работ Мягкова погибла вместе с храмами. На сегодня установлено, что им были выполнены:
Среди утерянных работ портрет современницы Пушкина, хозяйки одного из самых знаменитых московских литературных салонов Елагиной Авдотьи Петровны, портрет Ивана Алексеевича Яковлева, отца Александра Герцена, портрет отца того самого Николая Мартынова, который во время дуэли смертельно ранил М. Ю. Лермонтова, Мартынова Соломона Михайловича, портрет писателя Копьева Алексея Даниловича, портрет архиепископа Евгения (Казанцева), портреты князей Голицыных, Апраксиных, Загряжских.
Однако кое что все-таки сохранилось. Так, в Третьяковской галерее хранится тот самый «Семейный портрет», за который художник получил серебряную медаль, и Портрет неизвестного. В Храме Святителя Николая в Кузнецах в Москве уже больше 150 лет на стене висят огромные картины работы Мягкова «Страшный суд» и «Голгофа» — храм не закрывался во времена советской власти, благодаря чему и сохранились картины. Картины нуждаются в реставрации. В собрании живописи Государственного Исторического Музея в Москве есть две работы Т. Е. Мягкова — портрет графа Ивана Гавриловича Чернышева-Кругликова и портрет его супруги графини Софьи Григорьевны Чернышевой-Кругликовой (1843 г.). Когда-то они находились в Ярополецком имении Чернышевых-Кругликовых (позднее — Чернышевых-Безобразовых). В Рязанском художественном музее хранится работа 1842 г. «Семейный портрет». А в Липецком областном краеведческом музее — «Святое распятие».