Кортни родился в Кингстон-апон-Халле в семье Энн Элизы (урождённая Квест) и Томаса Генри Кортни, который расписывал лодки. Там же он посещал среднюю школу «Кингстон». Кортни изучал актёрское мастерство в Королевской академии драматического искусства в Лондоне.
Кортни дебютировал на сцене в 1960 году в труппе театра «Олд Вик» на сцене эдинбургского театра Royal Lyceum Theatre, после чего в 1961 году вместе с Альбертом Финни сыграл в главной роли в пьесе «Билли-лжец» в Cambridge Theatre. В 1963 году он исполнил ту же роль в одноимённом фильме Джона Шлезингера. Кортни сказал Альберту Финни: «У нас обоих одна проблема — преодолеть северный акцент.»
Дебютный фильм Тома Кортни Private Potter, режиссёром которого выступил Каспар Вреде, вышел в 1962 году и стартовал в прокате, когда Кортни ещё учился в академии. За ним последовали фильмы «Одиночество бегуна на длинную дистанцию» Тони Ричардсона и «Билли-лжец» — два очень известных фильма, которые возвестили о начале Британской новой волны в начале 1960-х годов. За эти роли он получил премию BAFTA как самый многообещающий новичок и номинацию на соискание BAFTA в категории «Лучший британский актёр» соответственно. За свою роль преданного революции дворянина Паши Антипова в фильме «Доктор Живаго» (1965) он был номинирован на премию «Оскар» в категории «Лучшая мужская роль второго плана», но проиграл Мартину Балсаму. Среди других его кинолент можно отметить «За короля и Отечество» Джозефа Лоузи, где он сыграл вместе с Дирком Богардом, и «Ночь генералов» Анатоля Литвака.
Несмотря на то, что благодаря этим фильмам он стал звездой мирового уровня, Кортни сказал, что ему не особо нравится сниматься в кино, и с середины 1960-х годов он сосредоточился на работе в театре. В 1966 году Кортни начал многолетнее сотрудничество с вновь образованным Театром королевской биржи в Манчестере, где режиссёром стал его давний знакомый Каспар Вреде. Его первыми ролями в новом театре были Фолкленд в пьесе Ричарда Шеридана «Соперники» и герой из «Принца Фридриха Гомбургского» Генриха фон Клейста. С тех пор он сыграл множество ролей, в том числе главные роли в постановках «Король Лир» 1999 года и «Дядя Ваня» 2001 года.
Том Кортни продолжил работу с Вреде в кино, снявшись в главной роли в кинофильме 1970 года «Один день Ивана Денисовича». Самая известная его роль в кино была в ленте «Костюмер», основанная на одноимённой пьесе Рональда Харвуда (в которой также играл Кортни). Вместе с партнёром по фильму Альбертом Финни был номинирован на премию «Оскар» за лучшую мужскую роль, но проиграл Роберту Дювалю. Он сыграл отца Дерека Бентли (Кристофер Экклестон) в фильме 1991 года «Пусть получит своё».
Кортни работал на телевидении и радио мало, но среди его работ можно отметить телефильм 1971 года She Stoops to Conquer компании BBC и несколько телепьес Алана Эйкборна. Он появился на американском телевидении в фильме 1973 года I Heard the Owl Call My Name. В 1995 году он снялся с Питером Устиновым в сделанном для канала Disney Channel телеверсии романа Чарльза Диккенса «Лавка древностей». Тогда же он сыграл эпизодическую роль антрополога Бронислава Малиновского в эпизоде «Глаз павлина» телесериала «Хроники молодого Индианы Джонса». В 1998 году он вновь поработал с Альбертом Финни, сыграв в телефильме канала BBC «Женитьба по-английски». Он изобразил Бога в радиоспектакле «Короткий перерыв» Бена Стейнера, который транслировался на радио BBC Radio 4 в 2004 году. Кроме того, на Radio 4 он сыграл главную роль в радиопостановках Ника Леве The Domino Man of Lancashire и Мориса в радиопьесе Ричарда Ламсдена Человек на Луне, вышедших в эфир в 2007 году. Кортни также появился в 2008 году в специальном рождественском шоу сериала The Royle Family в роли отца Дэйва, Дэвида-старшего.
В 2002 году по предложению Майкла Годли Том Кортни организовал персональную выставку Pretending To Be Me, в основу которой легли письма и сочинения известного британского поэта Филипа Ларкина, первым сыгравшего в театре West Yorkshire Playhouse в Лидсе. Её затем перевезли в лондонский театр Comedy Theatre.
В 2007 году вышло две кинокартины с участием Кортни: фильм-катастрофа о затоплении Лондона «Наводнение» и «Золотой компас» — экранизация романа Филипа Пулмана, где он появился в образе Фардера Корама. В 2008 году он сыграл мистера Доррита в мини-сериале «Крошка Доррит» по одноимённому роману Чарльза Диккенса. За эту роль Том Кортни получил номинацию на премию «Эмми».
В 1973—1982 годах Кортни жил в браке с актрисой Шерил Кеннеди. В 1988 он женился на менеджере Изабель Кроссли, с которой работает в одном театре. У них есть дома в Манчестере и Лондоне.
В 2000 году Кортни опубликовал мемуары Уважаемый Том: письма из дома. Книга получила положительные отзывы критиков. Она включает в себя набор писем из переписки Кортни с матерью и его воспоминания о своей жизни, когда он был молодым актёром и студентом в начале 1960-х.