Внук мэра городка Корсо, в котором родился. С детских лет имел возможность слушать много различной музыки в модном курортном городке Веве по соседству, — в частности, по воспоминаниям самого Кюэно, ему довелось присутствовать в мае 1913 г. на концерте ко дню рождения Камиля Сен-Санса, в ходе которого именинник играл вместе с Игнацем Падеревским репертуар для двух фортепиано. Учился в Базельской консерватории у Вилли Реберга и Колетт Висс, затем в Вене у Гермины Зингер-Буриан (ученицы Розы Папир). В 1920-е гг. участвовал в небольших полуприватных концертах в Вене и затем в Париже. Дебютировал на сцене в 1928 г. в парижской постановке оперы Эрнста Кшенека «Джонни наигрывает», что открыло путь к дальнейшей карьере Кюэно во Франции — в частности, к исполнению теноровых партий в ораториях Иоганна Себастьяна Баха с оркестром под управлением Венсана д’Энди. В 1929 г. Кюэно участвовал, в незначительной роли, в лондонской премьере мюзикла Ноэла Кауарда «Горести и радости», а затем вместе с лондонской труппой отправился в Нью-Йорк для бродвейского показа; здесь Кюэно записал несколько спиричуэлс с собственным фортепианным аккомпанементом.
В 1930-е гг. Кюэно делил свою жизнь между Парижем, США и Швейцарией, в 1940—1946 гг. преподавал в Женевской консерватории. Он участвовал в концертных исполнениях «Свадебки» Стравинского, ораторий Игоря Маркевича «Потерянный рай» и Артюра Онеггера «Пляска мёртвых». В тот же период Кюэно начал принимать участие в первых записях произведений Клаудио Монтеверди, которые осуществляла в Париже Надя Буланже; эти записи в значительной степени заложили традицию.
В 1943 г. Кюэно вернулся на сцену в постановке «Летучей мыши» Иоганна Штрауса. Пик его сценической активности пришёл на 1950-е гг., когда Кюэно пел в миланском «Ла Скала» (в «Воццеке» Альбана Берга), на Глайндборнском фестивале (начиная с 1954 г. и вплоть до 1987 г. Кюэно выступил на фестивале более 400 раз), в лондонском «Ковент-Гардене» (1954, 1956 и 1958). 11 сентября 1951 г. в Венеции Кюэно пел партию Селлема на мировой премьере оперы Стравинского «Похождения повесы». Среди важнейших записей Кюэно, относящихся к этому периоду, — баховские «Страсти по Матфею» под управлением Эрнеста Ансерме и песни Жиля Беншуа и Гийома де Машо; вообще временно?й охват в репертуаре певца очень велик, и среди других записей также чередуются Генрих Шютц и Франсуа Куперен — с Дину Липатти; впрочем, по замечанию критика The New York Times, «его репертуар весьма широк, но очевидным образом исключает почти всё, что может быть отнесено к мэйнстриму». Кроме того, распространялись живые записи ряда оперных постановок с участием Кюэно — в частности, глайндборнских «Женитьбы Фигаро» (Кюэно в партии Базилио) и «Евгения Онегина» (Кюэно в партии Трике).
В дальнейшем Кюэно продемонстрировал феноменальное творческое долголетие. На протяжении 1970-80-х гг. он интенсивно записывал различные камерные сочинения, особенно вокальные произведения французских композиторов: «Сократа» Эрика Сати, песни Габриэля Форе, Дебюсси, Русселя, Пуленка и др. В апреле 1987 г. Кюэно установил своеобразный рекорд: в возрасте без малого 85 лет он стал самым старым исполнителем, когда-либо дебютировавшим на сцене Метрополитен Опера (в опере Пуччини «Турандот», поставленной режиссёром Франко Дзеффирелли и дирижёром Джеймсом Ливайном, Кюэно вышел на сцену в роли Императора Альтоума). В последний раз он появился на сцене, в партии Трике из «Евгения Онегина», в 1994 году.
В 1996 г. вышел сборник бесед с Кюэно «Лёгким голосом» (фр. D'une voix l?g?re. Entretiens avec Fran?ois Hudry; английский перевод 1999), содержащий множество биографических деталей.