Свенсон проявил интерес к естествознанию благодаря коллекции ракушек и насекомых своего отца. Он был призван в армию и отправлен в Сицилию, однако из-за проблем со здоровьем ему пришлось вернуться.
Свенсон путешествовал по Бразилии с 1816 по 1818 годы. По возвращении в Англию он привёз коллекцию из более чем 20 000 насекомых, 1 200 растений, рисунков 120 рыб и примерно 760 птиц. Его друг Уильям Элфорд Лич воодушевил его на эксперимент по использованию литографии при написании книги «Zoological Illustrations» (1820-1823).
В 1841 году он эмигрировал в Новую Зеландию, чтобы стать фермером, однако, он потерпел неудачу из-за конкуренции с местными маори. В 1851 году он отправился под парусом в Сидней, чтобы занять должность эксперта по ботанике правительства штата Виктория. Ему это также не удалось из-за недостатка своих знаний по ботанике. Он вернулся в 1855 году в Новую Зеландию, где и умер.
Друг Свенсона Джон Джеймс Одюбон назвал в его честь большого певуна-барсучка (Limnothlypis swainsonii), а Шарль Люсьен Бонапарт дал его имя канюку (Buteo swainsoni).
Большой певун-барсучок
Свенсонов канюк
Свенсонов дрозд
Коричневоспинный тукан