Юлий Воронцов родился в 1929 году в семье военного моряка. В 1939 году отца Юлия Михайловича — Михаила Александровича Воронцова, назначили военно-морским атташе в Берлине. Жена и сын присоединились к нему в 1940 году. За месяц до начала Великой Отечественной войны Михаил Воронцов отправил семью на Родину в отпуск, так как знал дату нападения Германии на СССР. Донесения адмирала Воронцова докладывались Сталину дважды — в мае и июне 1941 года. Но оба раза они откладывались в сторону. Сам же М. А. Воронцов пересёк границу 20 июня, за два дня до начала войны.
В 1943 году, будучи вице-адмиралом, Михаил Воронцов сыграл важную роль в переломном моменте войны. Воронцов передал Сталину, «что близкий к германскому генштабу источник сообщил о подготовке немецким командованием в строжайшей тайне после поражения под Сталинградом мощного контрудара под Курском. Верховный главнокомандующий приказал срочно создать тогда новый Степной фронт и построить вторую линию обороны, на которой и были окончательно перемелены фашистские танковые армады».
Во время войны Юлий Воронцов был курсантом военно-морского училища (интересно, что в Бакинском военно-морском училище он учился вместе с Евгением Примаковым). После его окончания поступил в Московский государственный институт международных отношений (МГИМО).
В 1952 году после окончания МГИМО получил распределение в МИД СССР. В 1954 году был направлен в США. В течение нескольких лет работал атташе в постоянном представительстве СССР при ООН, затем — советником Посольства СССР в США.
В 1963—1965 годах, занимая должность советника в Постоянном представительстве СССР при ООН, участвовал в Женевских переговорах по разоружению и прекращению ядерных испытаний.
С 1970 по 1977 год был советником-посланником в советском посольстве в Вашингтоне. В 1970 году, будучи временным поверенным, в разгар холодной войны проводил крупный прием в честь столетия со дня рождения В. И. Ленина.
В 1977—1978 годах возглавлял советскую делегацию на международной встрече по безопасности и сотрудничеству в Европе (Белград).
С декабря 1977 по январь 1983 Юлий Воронцов — Чрезвычайный и Полномочный Посол СССР в Индии. Его деятельность способствовала укреплению связей между СССР и Индией, при его непосредственном участии велась подготовка к историческим визитам Леонида Брежнева в Индию и Индиры Ганди — в Советский Союз.
C 1983 по 1986 год работал советским послом во Франции.
По возвращении из Франции Юлий Воронцов принимал участие в работе над историческим договором между СССР и США 1987 года об уничтожении ракет средней дальности. «…в течение двух с половиной лет мы сблизили позиции настолько, что удалось подписать договор о полном уничтожении самого современного на тот момент оружия. Слава Богу, мне довелось участвовать в этом процессе, и я очень этим доволен», — говорил Юлий Воронцов.
В 1987 году стал первым заместителем министра иностранных дел СССР.
В 1988 году в ранге первого заместителя министра Воронцов возглавляет советское посольство в Афганистане, где перед ним стояли две задачи — дипломатически обеспечить вывод советских войск из страны и не допустить афганского внутриполитического конфликта. Обе задачи были выполнены — Ю. М. Воронцов добился от лидеров моджахедских групп гарантий, что они не будут стрелять по уходящим войскам. Также удалось пресечь масштабное кровопролитие в стране и избежать массового исхода беженцев из Афганистана.
С 1990 по 1994 год занимает должность постоянного представителя СССР и России в ООН и постоянного представителя в Совете Безопасности ООН.
С 1994 по 1998 год в ранге Чрезвычайного и полномочного посла работал в США по таким вопросам, как Балканская война, проблема расширения НАТО на Восток. Внёс значительный вклад в улучшение отношений между Россией и США.
С 1998 по 2000 год является советником Президента Российской Федерации по вопросам внешней политики.
В 1999 году по окончании дипломатической миссии в США получает предложение от Генерального секретаря ООН Кофи Аннана занять должность его специального представителя по странам СНГ.
В 2000 году перешёл на работу в ООН в качестве заместителя Генерального секретаря. На этой должности координировал возвращение кувейтских пленных и собственности из Ирака. Эту деятельность Воронцов совмещал с работой в качестве председателя правления Российско-американского инвестиционного банка.
В последние годы жизни Юлий Воронцов продолжал вносить вклад в укрепление взаимопонимания и расширение сфер взаимодействия с США в качестве Президента Российско-американского совета делового сотрудничества, участника группы общественного диалога «Россия-США: взгляд в будущее».
Умер 12 декабря 2007 года.
Юлий Михайлович Воронцов известен не только как дипломат, но и как общественный деятель. В 1970-х годах он познакомился со Святославом Рерихом, сыном известного художника и деятеля культуры Николая Рериха. У них сложились тёплые, дружеские отношения.
В 1989—1990 годах принимал участие в создании Советского Фонда Рерихов, а затем в создании общественной организации «Международный центр Рерихов» (МЦР) и Музея имени Н. К. Рериха при этой организации. В 1990 году Святослав Николаевич Рерих передал из Индии в СССР наследие своих родителей для создания в Москве рериховского музея. С доставкой наследия возникли сложности. Благодаря усилиям и помощи Ю. М. Воронцова наследие было успешно передано на Родину и стало основой музея. Из интервью Ю. М. Воронцова: «Тогда было благожелательное отношение со стороны Советского правительства и Генерального секретаря Горбачёва — в ту пору он ещё не был Президентом. К Рерихам, к их наследию, к самому Святославу Николаевичу отношение также было благожелательное…».
Генеральный директор музея Л. В. Шапошникова и бывший посол СССР в Индии А. М. Кадакин неоднократно подчёркивали, что без усилий Воронцова ни музея, ни МЦР просто бы не было. Своим рождением созданный в усадьбе Лопухиных культурный центр во многом обязан именно ему.
В ноябре 1999 года Ю. М. Воронцов был избран президентом Международного центра Рерихов.
Ю. М. Воронцов содействовал вступлению Международного центра Рерихов в ассоциированные члены Департамента общественной информации при ООН.
В 2000 году от имени МЦР Ю. М. Воронцов вручил Знамя Мира (предложенный Н. К. Рерихом охранный символ культуры) Генеральному секретарю ООН Кофи Аннану в его резиденции на Ленинских горах.
В 2004 году принял активное участие в создании в Москве Комитета по организации празднования юбилея Святослава Николаевича Рериха. В ноябре того же года в Колонном зале Дома Союзов состоялось торжественное заседание, посвящённое 100-летию этого художника, ученого и общественного деятеля. По случаю юбилея Ю. М. Воронцов 25 октября 2004 года вручил спикеру Парламента Индии Шри Сомнатх Чаттерджи Знамя Мира, побывавшее на борту космической станции «Мир».
2004 год был юбилейным и для самого Ю. М. Воронцова. Его 75-летие торжественно отметили в МИД РФ, а в МЦР состоялась выставка «Дипломат, общественный деятель, Президент Международного Центра Рерихов», на которой были представлены фотоматериалы из архива МЦР и личного архива Ю. М. Воронцова, относящиеся к различным этапам его дипломатической службы и общественной деятельности.
Ю. М. Воронцов принимал деятельное участие в культурно-просветительской и научной работе Международного центра Рерихов, занимал активную позицию в отношении культурного наследия семьи Рерихов, неоднократно обращаясь к высшему руководству страны.