Всю жизнь Изюмов провёл на Урале. Родился в Свердловске в 1933 году, окончил Уральский государственный университет. С 1959 года до смерти он был сотрудником Института физики металлов УрО РАН (ИФМ).
В школе он активно участвовал в работе географического общества «Глобус» Свердловского дворца пионеров. В 1951 году окончил свердловскую школу № 1 с золотой медалью, в том же году поступил на физико-математический факультет( позже переименованный в физический факультет ) Уральского госуниверситета им. А. М. Горького. С первый курсов увлекался современными проблемами квантовой механики, посещал лекции для старшекурсников. По окончании вуза поступил в аспирантуру к С. В. Вонсовскому, в лаборатории (магнитной нейтронографии) под руководством которого впоследствии и остался работать. Его руководитель писал, что «уже в аспирантуре у Ю. А. Изюмова сложились те особенности, которые характерны для всего последующего его научного творчества. Среди них главное — стремление строго математически решить задачи, используя для этого современные математические методы квантовой теории, прежде всего метод температурных функций Грина».
После окончания аспирантуры, Юрий Александрович начал работать в ИФМ, где в 1960 году защитил кандидатскую диссертацию «Некоторые вопросы спин-волновой теории ферромагнетизма», связанную с изучением элементарных возбуждений ферромагнетиков и особенно ферромагнитных металлов.
В 1967 году защитил докторскую диссертацию.
Создал в Институте физики металлов лабораторию теории твёрдого тела, которую и возглавлял много лет. Был председателем научного совета Института по теме «Электронные свойства конденсированных сред».
Ю. А. Изюмов был председателем Объединённого учёного совета по физико-техническим наукам при Президиуме УРО РАН, членом президиума УрО РАН, ряда научных советов, редколлегий отечественных и международных физических журналов. Он долгое время преподавал в Уральском госуниверситете, подготовил 7 докторов наук.
Основные направления научной деятельности — дифракция нейтронов на магнитоупорядоченных кристаллах, фазовые переходы, квантовая теория магнетизма, сверхпроводимость.
Создал теорию магнитоупорядоченных кристаллов с примесями. Точное решение задачи о двух антиферромагнитно связанных примесных атомах, погруженных в ферромагнитную матрицу, позволило объяснить аномальные свойства сплавов переходных металлов со смешанным обменным взаимодействием. Детально развил теорию сверхпроводящего состояния и магнитного порядка в контактах и сверхрешетках, построенных из металлических ферромагнитных и сверхпроводящих слоев. В области теории сильно коррелированных систем им разработан метод производящего функционала и применен к всестороннему исследованию квазичастичного спектра и коллективных мод для базовых моделей квантовой теории магнетизма. Выдвинул идею обменных мультиплетов и разработал приложение этой идеи к фазовым переходам в магнитных системах.
Изюмов внес большой вклад и в развитие математического аппарата в теории магнитных систем. В конце 1960-х годов совместно с Ф. А. Кассан-Оглы и Ю. Н. Скрябиным развил удобный для применения вариант диаграммной техники для спиновых операторов, а позднее при участии Ю. Н. Скрябина и Б. Н. Летфулова для операторов, вводимых при исследовании сильно коррелированных электронных систем (так называемые X-операторы Хаббарда). Разработал метод производящего функционала для спиновых и сильно коррелированных систем, идея которого состоит в том, чтобы рассматривать изучаемую систему в присутствии внешних полей, флуктуирующих в пространстве и во времени. В результате сформулировал «обобщенное приближение хаотических фаз», позволившее решить задачу о флуктуациях продольного компонента спина в изотропном ферромагнетике, построить магнитную фазовую диаграмму для сильно коррелированных моделей металла.
Автор 202 научных работ, из них 15 монографий по различным направлениям физики твердого тела, в том числе:
6 из которых переведены на английский язык, в том числе:
Средний уровень цитируемости — 9,5 цитирований на статью, индекс Хирша — 31.
Заслуги Ю. А. Изюмова отмечены многими правительственными наградами, в том числе медалью «За доблестный труд» (1970), советским орденом Трудового Красного Знамени (1983), медалью «Ветеран труда» (1986), российским орденом «Знак Почёта» (2004).
В 2007 году «за высокие научные достижения, большой вклад в развитие теоретической физики на Урале и подготовку высококвалифицированных кадров» Ю. А. Изюмов был награждён Золотой медалью имени С. В. Вонсовского.