Детство и юношество Юрия Евдокимова прошло на Украине в Запорожье. C 1963 по 1970 год работал электрослесарем, мастером по ремонту оборудования, наладчиком сборочного цеха Запорожского электровозоремонтного завода. Срочную службу проходил в Группе советских войск в Германии. В 1970 году заочно закончил Днепропетровский инженерно-строительный институт по специальности инженер-механик. После армии с 1972 по 1974 год работал старшим инженером, прорабом Запорожского научно-исследовательского института строительного производства.
В 1974 году по приглашению треста «Ковдорстрой» приехал в Мурманскую область. Работал механиком, прорабом, старшим прорабом треста. С октября 1974 по январь 1984 года — инструктор, заведующий промышленно-транспортным отделом, секретарь, второй секретарь Кировского горкома КПСС. В 1984 году закончил Ленинградскую высшую партийную школу. С 1984 по 1990 — заведующий отделом строительства, секретарь Мурманского обкома КПСС.
С 1990 по 1994 год возглавлял Мурманский областной Совет народных депутатов. С 1994 по 1996 работал генеральным директором Мурманского филиала АО «Акционерная финансовая корпорация „Система“». В декабре 1996 года избран главой администрации Мурманской области, с декабря 1997 года — губернатор Мурманской области. В марте 2000 года переизбран на второй срок (набрал более 86,6 % голосов избирателей) В марте 2004 переизбран на третий срок (набрал 77,1 % голосов избирателей). В феврале 2007 года в четвертый раз стал губернатором Мурманской области.
21 марта 2009 года президент России Дмитрий Медведев принял отставку по собственному желанию Юрия Евдокимова.