Детство провёл на Украине, по окончании школы поступил во Львовский политехнический институт, где увлёкся студенческим музыкальным театром.
В 1960 году поступил в МГК имени П. И. Чайковского. Победитель международных конкурсов «Пражская весна» (1960), международного конкурса в Бухаресте (1961), II Всесоюзного конкурса имени М. И. Глинки (1962), Монреальского международного конкурса исполнителей (1967).
С 1963 года — в Большом театре. Обладал мягким, красивым голосом, живым темпераментом, хотя иногда критиковался за недостаток актёрской экспрессии. Среди его партий — Евгений Онегин (одноимённая опера П. И. Чайковского), князь Елецкий (его же «Пиковая дама»), Веденецкий гость («Садко» Н. А. Римского-Корсакова), Андрей Болконский («Война и мир» С. С. Прокофьева), Царёв (его же «Семён Котко»), Фигаро («Севильский цирюльник» Дж. Россини) и многие другие.
В 1975 году дебютировал в театре Ковент-Гарден, три года спустя — в Метрополитен-опера в партии Жермона («Травиата» Дж. Верди). Мазурок часто пел в Венской государственной опере, в частности, он исполнил роль Эскамильо в постановке на этой сцене оперы «Кармен» в 1979 году под руководством Ф. Дзеффирелли.
Также был известен как замечательный исполнитель русских романсов.
Был членом КПСС с 1968 года.
Ю. А. Мазурок умер 1 апреля 2006 года. Похоронен в Москве на Троекуровском кладбище.