Родился 7 апреля 1947 года в Якутской АССР в семье военнослужащих. Трудовой путь начал в 1965 году матросом Керченского моррыбфлота. В 1966 году был призван в ряды вооруженных сил. В период прохождения срочной воинской службы окончил военно-фельдшерское училище.
Окончил Военно-медицинскую академию имени С. М. Кирова. После окончания академии в 1974 году командир операционно-перевязочного взвода отдельного медицинского батальона.
С 1975 года — сотрудник кафедры и клиники госпитальной (торакальной) хирургии Военно-медицинской академии: старший ординатор (1975—1977 гг.), клинический ординатор (1977—1978 гг.), преподаватель кафедры и начальник отделения сердечно-сосудистой хирургии (1978—1985 гг.), старший преподаватель кафедры и начальник этого отделения (1985—1991 гг.).
С 1991 года — начальник кафедры и клиники сердечно-сосудистой хирургии им. П. А. Куприянова Военно-медицинской академии. С 1992 года начальник Военно-медицинской академии и председатель Ученого совета академии.
С 1993 года — главный кардиохирург Санкт-Петербурга и Ленинградской области, руководитель созданного им областного кардиохирургического центра.
С 1995 года — генерал-полковник медицинской службы.
5 июля 1999 года Указом Президента Российской Федерации назначен Министром здравоохранения России. До декабря 2000 года совмещал руководство министерством с руководством Военно-медицинской академией, кафедрой и клиникой.
С 20 марта 2004 года — Президент и Председатель Ученого Совета Пироговского Центра. С этого же времени — Главный хирург России.
В марте 2005 года созданный на базе ММА им. Сеченова НИИ грудной хирургии трансформирован в Национальный центр грудной и сердечно-сосудистой хирургии им. Св. Георгия в составе Национального медико-хирургического Центра имени Н. И. Пирогова. С этого же времени Ю. Л. Шевченко — одновременно директор Национального центра грудной и сердечно-сосудистой хирургии и заведующий кафедрой грудной хирургии Института усовершенствования врачей НМХЦ им. Н. И. Пирогова.
На протяжении своей деятельности на посту министра сотрудничал с Русской Православной Церквью. В 2004 году основал на территории центра в Восточном Измайлово Храм святителя Николая. В 2009 году рукоположен в священники с именем Георгий.
В марте 2012 появились сообщения о судебной тяжбе вокруг квартиры Шевченко в «Доме на набережной» в Москве (ул. Серафимовича,2), на которую судом был наложен арест по иску обитательницы находящейся этажом выше 144-метровой квартиры, которую во время ремонта жилища хирурга засыпало пылью. Согласно иску, удовлетворённому Замоскворецким судом Москвы, Шевченко должен выплатить компенсацию за причинённый ущерб в размере почти 20 миллионов рублей в пользу Леоновой Лидии Михайловны. Утверждается, что собственником квартиры в «Доме на набережной», в которой зарегистрирована и проживает Леонова, является Владимир Михайлович Гундяев, он же Святейший Патриарх Московский и Всея Руси Кирилл.
В конце марта 2012 в СМИ появились материалы о том, что в клиниках Пироговского центра, президентом которого является Шевченко, проводятся аборты, что вступает в противоречие с его священством . В ответ на это сын Шевченко Юрий сообщил, что адвокаты его отца готовят в суд иск, отрицая информацию о проведении абортов в медцентрах Пироговского центра . Реагируя на опровержения Шевченко, движение «Воины Жизни» выложило в Интернет аудиозаписи телефонных разговоров с сотрудниками центра, которые подверждали истинность информации об абортах в отделениях клиник . В апреле 2012 стороны готовились к суду. Одновременно появились первые скептические комментарии о священстве Шевченко. Например, известный религиовед Александр Щипков отмечает, что священство Шевченко требует канонической проверки. «Пока мы можем говорить о Юрии Леонидовиче только как о главе клиники, где совершаются аборты», - пишет эксперт.
Был женат. Имеет дочь Ксению и сына Юрия.