По идее и по чертежам Фельтена была устроена приводившая в своё время всех в удивление машина для передвижения гранитного монолита для пьедестала статуи Петра Великого в его Фальконетовском монументе.
Будущий зодчий родился в семье эконома Академии наук Матиаса Фельтена (троюродный брат Иоганна Фельтена - обер-кухмейстера Петра I, который владел в Немецкой слободе участком на Дворцовой набережной, ныне дом 10). После смерти Матиаса в 1736 году дела семьи идут не лучшим образом. В 1738 году старшая сестра Фельтена Екатерина вышла замуж за профессора физики и математики Г.-В. Крафта и по окончании старшего класса гимназии при Академии Фельтен вместе с семьёй в 1745 году отправляется в Германию. Юный Георг в течении нескольких лет изучает в Тюбингенском университете у Крафта математические и физические науки. Позднее Фельтен напишет об этом времени:
Осенью 1749 года Фельтен возвращается в Петербург и вскоре проходит экзамен в Собрании Академии художеств при тогдашней Академии наук, где оказалось, что «в арифметике, геометрии и в рисовании с гипсу и с печатных фигур, так и в копировании всяких архитектурных строений, уже доброе основание имеет...». К экзаменационному листу также прилагался фасад церкви (проект Преображенского собора) - единственный сохранившийся образец графики Фельтена раннего времени. Студент Фельтен обучался арифметике и геометрии у Г.-В. Рихмана, архитектуре - у И.-Я. Шумахера, рисунку - у И.-Э. Гриммеля. Дж. Валериани учил Фельтена перспективе и ордерам, а И.-Ф. Дункер - резному и лепному делу. В феврале 1752 года последовало заключение членов Собрания Академии художеств, где особо отмечалось рисовальное искусство Фельтена:
С 1756 года зачислен на постоянную службу в качестве чертёжника-рисовальщика в мастерской Растрелли при Зимнем дворце, а 16 октября 1760 года он был произведён в архитекторы. После увольнения в 1763 году обер-архитектора Растрелли, Фельтену приходится завершать начатое его наставником и приступить к самостоятельному проектированию. Зодчему, органически связанному с барочной традицией, предстояло искать рациональные основы нового стиля и стать одним из ярких представителей так называемого раннего классицизма.
Как художник весьма способный и сведущий в своей специальности, пользовался расположением И. И. Бецкого, который поручал ему многие работы.
В 1773—1784 годах Фельтен занимал участок на набережной реки Мойки. В середине XVIII века здесь находился деревянный загородный дом гоф-хирурга Х. М. Паульсена. В 1773 году этот дом был продан архитектору, который вскоре вместо него построил каменный особняк, где сам и поселился. Юрий Матвеевич был женат на старшей дочери Паульсена Анне. С 1810 года участок принадлежит Певческой капелле. Леонтий Бенуа при постройке здания Певческой капеллы в 1886—1889 гг. использовал фундаменты и часть стен дома Фельтена.
Невозможность продолжать творческую работу заставили стареющего Фельтена сосредоточить всё своё внимание на Академии. Умер архитектор Юрий Матвеевич Фельтен 14 июня 1801 года.
После отъезда Растрелли в 1760-х годах Фельтен был главным архитектором Канцелярии от строений. Именно в это время у Екатерины II рождаются грандиозные честолюбивые замыслы обновления столицы и загородных резиденций. На передний план стали выдвигаться задачи градостроительного порядка, учреждается Комиссия о каменном строении Санкт-Петербурга и Москвы. В числе первых мер по преобразованию Петербурга была замена деревянной набережной Невы каменным парапетом с лестницами-пристанями. Определяющая роль в осуществлении этого замысла принадлежала Фельтену. Трудоёмкие работы по сооружению гранитной набережной продолжались до 1780 года. Зыбкая почва укреплялась свайною бойкою, местами делалась подсыпка земли.
В 1784 году Фельтен, возглавлявший Контору от строений е.и.в. домов и садов, попросил отставку, жалуясь на плохое здоровье и прогрессирующую слепоту:
Получив в 1760 году звание архитектора, он продолжал работать в Зимнем дворце. В феврале 1764 года проходит «апробацию» его проект Путевого дворца в Смоленске. Инициированный генерал-губернатором Смоленска графом В. В. Фермором, этот проект мог стать типовым для такого рода построек. Фельтен был одним из первых, кто предложил использовать в отделке интерьеров цветной естественный камень. По инициативе возглавляемой Фельтеном Конторы от строений организуются экспедиции (первую из них в 1765 году возглавил Яков Данненберг) для изучения месторождений мрамора, агата, хрусталя и других минералов. 1760 - 1770-е годы стали периодом становления и расцвета таланта Фельтена. Будучи современником таких мастеров раннего классицизма, как А. Ф. Кокоринов и Ж-Б. Валлен-Деламот, Фельтен был ещё и представителем местной петербургской школы. А индивидуальные эклектические искания архитектора в области псевдоготики сделали его одним из ярких представителей романтизма.
1770 - 1780-е годы - период интенсивного дворцового строительства. Возглавив Контору от строений Фельтен так или иначе имел дело со всеми постройками дворцового ведомства. Ещё в 1762 году в южной части Зимнего дворца Фельтен готовит девять комнат для наследника. Фельтен руководит работами по возведению сооружений для грандиозного фейерверка по проекту Я. Штелина, устроенного 28 июня 1763 года. В 1764 году начинается возведение Малого Эрмитажа - здания, которое должно было стать символом просвещённой эпохи Екатерины II. В 1771 году Фельтен начинает строительство ещё одного дворцового корпуса в линию с Эрмитажем - здания Большого Эрмитажа на набережной. В 1780-х годах с возведением через Зимнюю канавку галереи-перехода к Эрмитажному театру окончательно формируется уникальный ансамбль дворцовых построек, выходящих на Неву. Редкому по смелости инженерного замысла сооружению арки через Зимнюю канавку архитектор нашёл и замечательное образное выражение, создав удивительный по красоте и законченности уголок Петербурга.
На территории южнее Большого Эрмитажа, параллельно Малому Эрмитажу в период с 1764 по 1766 годы Фельтен возводит корпус Конюшен, Манеж с надстройкой «жуидепома» и флигель, выходящий фасадом на Миллионную улицу. Интерьер Манежа был отделан с большой роскошью.
В 1767 году Фельтен участвовал в конкурсе на проект «Тронного зала» в Зимнем дворце, отделку которого не успел осуществить Растрелли. Тогда же была изготовлена и модель, которую подверг критике Валлен-Деламот.
Сохранился формулярный список архитектора, своего рода анкета, в котором Фельтен описывает своё продвижение по службе. Перечислены работы Фельтена также и в книге И.-Г. Георги.