Юрий Наумцев родился в Баку в 1937 году. Отец — Наум Григорьевич Наумцев — известный футболист, капитан команды «Нефтяник», игрок команды "Динамо" (футбольный клуб, Тбилиси) в конце 1940-50-х годов, бронзовый призёр чемпионата СССР 1947-го года. Мать — Зоя Николаевна Астафьева — актриса, играла характерные роли в любительском театре.
Юрий с 1950-х годов профессионально занимался баскетболом в Баку. Позже переехал в Москву, стал играть за баскетбольный клуб «Динамо (Москва)», где тренером команды был А. Я. Гомельский. Играл за сборную СССР вместе с Александром Петровым, Владимиром Рыбалко и Увайсом Ахтаевым. Спортивная карьера завершилась в конце 1970-х годов.
Закончил МГИМО. Во время учёбы МГИМО играл в КВН.
С 1967 года начал сниматься в кино в эпизодических ролях. Однако в 1970-х отошёл от актёрской профессии. Работал заместителем директора Комбината бытовых услуг фирмы «Заря». В конце 1970-х его приглашали на кинопробы фильма «Д’Артаньян и три мушкетёра» (на роль Портоса), но руководство фирмы «Заря» его не отпустило.
В 1980-х вернулся в кино, сыграв две запоминающиеся роли второго плана — хамоватого громилу-полицейского Фрэнка в «ТАСС уполномочен заявить...» и хмурого и корыстолюбивого эцилоппа-судью в «Кин-дза-дза!».
Во время съёмок фильма Кин-дза-дза!, которые проходили летом в пустыне, у Юрия Наумцева случился инсульт. В результате он приобрёл частичную потерю памяти и инвалидность. После чего, несмотря на приглашения, сниматься в кино он уже физически не мог.
Умер в 1993 году от повторного инсульта. Похоронен в Московской области на Николо-Архангельском кладбище. Три сына — Олег (старший), Никита и Матвей (младший).