Начал играть в футбол в дворовых командах. В 1971 году был приглашён в симферопольскую «Таврию», которая в то время выступала во второй лиге СССР. В своём дебютном сезоне провёл за команду тринадцать матчей, забил два гола. В 1973 году Аджем вместе с симферопольским клубом стал победителем первой зоны второй лиги СССР и вышел в финальный турнир, в котором разыгрывалось право на повышение в классе. В финале, который проходил в Сочи, «Таврия» заняла второе место и следующий сезон начала в первой лиге. В 1976 году Аджем перешёл в московское «Торпедо», однако надолго там не задержался и уже через полгода вернулся в «Таврию», за которую выступал до 1978 года. В 1979 году Юрий Аджем перешёл в московский ЦСКА. В составе армейцев Юрий провёл 107 матчей и забил девять голов. В 1980—1981 годах был капитаном клуба.
После матча 13 августа 1981 на выезде с «Днепром» был обвинен главным тренером ЦСКА Олегом Базилевичем в «нежелании отстаивать честь клуба». В начале сентября 1981 вышел приказ Спорткомитета СССР, в котором ряд футболистов высшей лиги был обвинен в «нарушении морально-этических норм, в пренебрежении интересами коллективов и в безответственном отношении к повышению своего спортивного мастерства». Все перечисленные в приказе футболисты были дисквалифицированы (без указания срока), а Юрий Аджем был лишён звания Мастер спорта международного класса.
Благодаря усилиям Александра Тарханова, заменившего Аджема на посту капитана команды, срок дисквалификации продлился только год. 25 сентября 1982 в гостевом матче с «Торпедо» (Москва) Аджем вновь вышел на поле в основе ЦСКА. Всего в сезоне 1982 года Аджем провел 6 игр.
Проведя в ЦСКА ещё и сезон 1983, Аджем отправился в расположение группы советских войск в Германии. В период с 1984 по 1990 играл за немецкие клубы в третьем дивизионе чемпионата ГДР.
В 1994 году начал тренерскую карьеру. Тренировал ЦСКА (1994—1996), тульский «Арсенал» (1999), новороссийский «Черноморец» (2000—2001), «Ростсельмаш» (2001—2002), позже вернулся в ЦСКА, где с 2003 до 2008, а также в 2009—2010 годах тренировал дубль армейцев.
В составе молодёжной сборной СССР в 1976 и 1980 годах становился победителем молодёжного чемпионата Европы. За основную сборную СССР провёл четыре матча в 1979 году. Дебютировал 28 марта 1979 года в игре против сборной Болгарии.