Юрий Николаевич Божко родился 11 мая 1961 года в селе Жуково Белгородской области. Окончил Воронежский сельскохозяйственный институт по специальности «инженер-механик» и Воронежский государственный университет по специальности «юрист».
Начинал карьеру трактористом в колхозе в Белгородской области. После окончания института в 1984 году работал инженером-технологом, главным инженером РТП «Задонское» Задонского района Липецкой области, затем главным инженером передвижной механизированной колонны треста «Мелиоводстрой».
С 1987 года — начальник Задонской передвижной механизированной колонны треста «Мелиоводстрой».
С 1991 года работал в прокуратуре Задонского района Липецкой области.
В июне 1999 года избран главой администрации Задонского района Липецкой области.
В 2002 году баллотировался на пост Главы администрации Липецкой области, но снял свою кандидатуру. 14 апреля 2002 года избран депутатом Липецкого областного Совета, оставаясь в должности главы района.
В июле 2003 года назначен вице-губернатором Липецкой области и воспринимался как преемник действующего Главы администрации Липецкой области Олега Петровича Королёва. Курировал сферы ЖКХ, экологии, строительства и имущественных отношений.
20 декабря 2006 года назначен первым вице-губернатором.
В декабре 2009 года включён в кадровый резерв Президента РФ.
12 апреля 2010 года вошёл в число трёх претендентов на пост губернатора Липецкой области, предложенных для рассмотрения Президенту РФ.