Ю.С. Нечаев родился в родовой усадьбе Нечаевых в селе Сторожевая слободка (ныне Полибино, Данковского района Липецкой области). Его отец Степан Дмитриевич Нечаев (1792—1860) был обер-прокурором Святейшего Синода, сенатором, действительный тайный советником, историком, археологом, основателем первого Музея Куликовской битвы, поэтом и писателем.
Юрий Степанович окончил 1-ю московскую гимназию и юридический факультет Московского университета (1857). Служил в главном архиве Министерства иностранных дел, был переводчиком и ездил с дипломатическими поручениями в Берлин, Париж и другие города Европы.
В 1880 году Ю.С. Нечаев получил наследство от дяди Ивана Сергеевича Мальцова (1807-1880), включающее несколько фабрик и заводов в различных губерниях России, крупнейшим из которых был Гусевской хрустальный завод во Владимирской области. Вступая в права наследования, Ю.С.Нечаев принял также и фамилию дяди (родного брата матери) и стал Нечаевым-Мальцовым.
В Санкт-Петербурге с 1880 года Ю.С. Нечаев-Мальцов жил в доме 30 по Сергиевской улице (ныне улица Чайковского). В 1883—1884 годах по заказу Нечаева-Мальцова были выполнены интерьеры этого здания в стиле рококо архитектором Л. Н. Бенуа. В Петербурге Юрий Степанович попечительствовал Морскому благотворительному обществу, Николаевской женской больнице, Сергиевскому православному братству, помогал Дому призрения и ремесленного образования бедных детей, с 1910 был попечителем Школы Императорского Женского патриотического общества имени Великой Княгини Екатерины Михайловны. Долгое время был членом Попечительного комитета о сестрах Красного Креста, на основе которого в 1893 под покровительством принцессы Е. М. Ольденбургской возникла Община сестер милосердия Святой Евгении. Став вице-президентом Общины, пожертвовал деньги на строительство под ее эгидой двух больничных павильонов и здания Убежища для престарелых сестер милосердия имени Императора Александра III. Финансировал деятельность медицинских учреждений. Нечаев-Мальцов был вице-председателем Общества поощрения художеств и субсидировал журнал «Художественные сокровища России», редакторами которого состояли Александр Бенуа и Адриан Прахов. В настоящее время в петербургском доме Ю.С. Нечаева-Мальцова расположено ГУ МВД России по Северо-Западному федеральному округу.
В 1885 году Ю.С. Нечаев-Мальцов основал во Владимире Техническое училище имени И.С.Мальцова, одно из лучших в Европе по техническому оснащению (ныне Владимирский авиамеханический колледж). Затем воздвиг в центре города Гуся, ставшего именоваться при нем Гусь-Хрустальным, величественный храм Св. Георгия по проекту Н. Л. Бенуа, а в селе Березовка — храм Дмитрия Солунского в память воинов, павших в Куликовской битве. Храмы расписывал В. М. Васнецов. Вслед за храмами-памятниками в Гусь-Хрустальном была построена богадельня имени И. С. Мальцова, а в Москве, на Шаболовке 33, в 1906 был построен комплекс дворянской богадельни имени Ю.С. Нечаева-Мальцова (архитектор Роман Клейн).
В историю Ю. С. Нечаев-Мальцов вошел как человек, подаривший России Музей изящных искусств (ГМИИ имени А. С. Пушкина) в Москве, пожертвовав на его строительство основную сумму денег (более 2000000 из 2600000 рублей).
Вклад Ю. С. Нечаева-Мальцова в музей был колоссален: мраморная и гранитная облицовка, беломраморная колоннада главного фасада, портик, украшенный фризами, работами академика Гуго Залемана.
На средства Нечаева-Мальцова из Италии были выписаны искусные каменотёсы; он оплатил оформление центральной парадной лестницы разноцветными породами венгерского мрамора — серого, желтого, розового, красного, зеленого и «Белого зала», украшенного 36 колоннадами, — голубым фризом с золотым орнаментом и изящной медной дверью. И это не считая первого его пожертвования — двадцатиметрового фриза — копии мозаичных панно собора Святого Марка в Венеции. 300 рабочих, нанятых Нечаевым-Мальцовым, добывали на Урале белый мрамор особой морозоустойчивости; когда же выяснилось, что десятиметровые колонны для портика сделать в России невозможно, Юрий Степанович заказал их в Норвегии, зафрахтовал пароход для их доставки морем и баржи для сплава по рекам до самой Москвы. На фасаде здания музея, который с 1937 года носит имя А. С. Пушкина, установлена мемориальная доска с барельефом Ю. С. Нечаева-Мальцова.
В имении Ю. С. Нечаева-Мальцова в селе Полибино Данковского района Липецкой области до революции находился первый в России музей Куликовской битвы. В усадьбе Полибино у Ю.С.Нечаев-Мальцова гостили и творили Л.Н.Толстой, И.Е. Репин, И.К.Айвазовский, К.А.Коровин, В.Д.Поленов, В.В.Васнецов, И.В.Цветаев, Н.Л.Бенуа, А.Н.Бенуа, Ольга Книппер-Чехова, Анна Ахматова.
До настоящего времени в Полибино сохранилась стальная ажурная сетчатая башня удивительной красоты, выполненная по проекту выдающегося инженера В. Г. Шухова. Куплена Ю. С. Нечаевым-Мальцовым на Нижегородской промышленной выставке в 1896 года. Это первое в мире сооружение гиперболоидной конструкции.
По завещанию бездетного Ю. С. Нечаева его состояние в 1914 перешло к его дальнему родственнику — графу П. Н. Игнатьеву. В 1918 предприятия были национализированы.