Футбольная карьера Байна началась в 1978 году, когда он подписал профессиональный контракт с клубом «Кикерс» из Оффенбаха. Клуб по традиции играл то в третьей, то во второй, спускаясь и поднимаясь с каждым годом туда-сюда. Но в сезоне 1983/84 Кикерсу удаслось подняться в Бундселигу, где Уве показал себя со всех сторон, хоть его клуб и занял предпоследнее место. Особенно запоминающимся выглядит его хет-трик, оформленный 20 августа 1983 года во втором туре в ворота мёнхенгладбахской «Боруссии». Всего за «Кикерс» Уве провёл 153 матча и забил 72 гола.
На заметку к селекционерам ведущих клубов попал после двух сезонов за «Кикерс», но только в 24 года, права на футболиста купил «Кёльн», игравший в Бундеслиге. Уве сыграл за три сезона в «Кёльне» 64 матча, забив 17 мячей. В 1986 году, будучи уже одной из главных звёзд своего клуба, вышел вместе с ним в финал Кубка УЕФА, который был проигран мадридскому «Реалу» по сумме двух матчей со счётом 3:5. Победить не помог даже гол Уве, забитый на 22-ой минуте второго матча.
В 1987 году Уве перешёл в «Гамбург». С точки зрения командных достижений Уве не повезло. За два года «Гамбург» два раза финишировал в шестёрке лучших команд Германии, но оба раза позади его бывшего клуба — «Кёльна». Зато Уве преуспел в личных достижениях: в сезоне 1988/89 он забил 15 мячей в чемпионате, уступив только Томасу Аллофсу и Роланду Вольфарту из «Кёльна» и «Баварии» соответственно, забившим по 17 мячей. Именно после этого чемпионата Уве стал вызываться в сборную Германии. Всего за два сезона в «Гамбурге» он сыграл 52 матча и забил 22 мяча.
Следующий сезон Уве начал уже в «Айнртахте» из Франкфурта-на-Майне. В первом же своём сезоне выиграл бронзовые медали чемпионата и помог нападающему Йорну Андерсену с 18 мячами стать лучшим бомбардиром чемпионата, большинство из которых были забиты с передач Уве. В сезонах 1991/92 и 1992/93 «Айнтрахт» также завоёвывал бронзовые медали. Его дуэт с Андреасом Мёллером был очень эффективен, чему способствовало отменное взаимопонимание. Поэтому Андреас и забил 28 мячей за «Айнтрахт» в период с 1990 по 1992-ой. За пять сезонов проведённых в «Айнтрахте» Уве сыграл 150 матчей и забил 38 мячей, став одним из лучших игроков Германии тех времён.
В 1994 году уехал играть в Японию в клуб «Урава Ред Даймондс», куда в те времена съезжались игроки заканчивать карьеру. Уве провёл в Японии три сезона, сыграл 68 матчей и забил 25 мячей.
В 1997 году вернулся доигрывать в Германию, в клуб «Гиссен», в котором в 1998 году закончил карьеру. После завершения карьеры иногда играл за «Бад Хершсельд» в низших немецких лигах.
С 1 июля по 23 декабря 2005 года был менеджером «Кикерса».
Самый большой успех в карьере Уве Байна — победа в чемпионате мира 1990 года. На мировом первентсве Уве сыграл четыре матча из семи, и пропустил из-за травмы финал, но всё равно остался одним из лучших игроков того турнира. Уве даже забил один гол в ворота национальной сборной Объединённых Арабских Эмиратов 15 июня на 58-й минуте матча. Тот матч закончился победой сборной Германии со счётом 5:1.
В чемпионате Европы 1992 года и чемпионате мира 1994-го участия не принимал, поскольку главный тренер сборной тех времён Берти Фогтс упорно не видел его в команде, предпочитая других игроков. Всего за сборную Уве провёл 17 игр и забил три мяча.
Последний матч за сборную провёл 22 сентября 1993 года в Тунисе против национальной команды Туниса. Матч закончился со счётом 1:1, Уве отличиться не смог.