Уве начинал заниматься в футбольных школах «Мангейма». На одной из игр его увидели представители мёнхенгладбахской «Боруссии». В 1980 году он стал игроком «чёрно-бело-зелёных». За них он провёл восемь сезонов, в которых сыграл 227 матчей и забил 81 гол. На поле он занимал место нападающего, но мог сыграть и атакующего полузащитника. Особенно ярко он провёл сезон 1986/87 годов, когда в 31 матче он забил 24 мяча и стал лучшим бомбардиром Бундеслиги, обогнав Фрица Вальтера из его родного «Вальдхофа» на один мяч. В том же сезоне Уве стал лучшим игроком немецкого первенства.
В 1987 году сразу после великолепного сезона Уве мог перейти в голландский «ПСВ» в качестве замены Рууду Гуллиту, но трансфер сорвался. После этого Уве резко сдал. Забив 12 мячей в следующем сезоне за «Боруссию», он решил покинуть клуб и перешёл в «Кёльн», откуда через два сезона перешёл в «Герту». После сезона в Берлине, играл по сезону «Фортуне» и «Айнтрахте», после чего уехал в Японию, в клуб «Урава Ред Даймондс», где вскором времени закончил карьеру.
Один из самых важных матчей для Уве стал дебют за немецкую сборную. 17 октября 1984 года они играли против национальной сборной Швеции в отборочном турнире к чемпионату мира 1986 года. Уве на 75-й минуте заменил Феликса Магата и первым своим касанием отправил мяч в ворота, которые немецкая дружина не могла до этого момента распечатать. Этим Ран надолго запомнился болельщикам. И на чемпионат мира он таки поехал, хотя и не сыграл там ни одного матча из-за травмы, но серебряную медаль, завоёванную сборной, всё же получил.