Получив начальное образование, с 1930 трудился на заводе «Светлана» в Ленинграде, окончил заводской техникум, где учился у С. А. Векшинского.
В 1934—1938 учился во Всесоюзном заочном институте технического образования.
В 1941 в течение полугода находился в командировке в США (заводы RCA), где изучал производство радиоламп и приборостроение.
С началом Великой Отечественной войны в составе коллектива завода «Светлана» был эвакуирован в Новосибирск. Работал мастером участка, с 1942 — главным инженером завода. В 1943 стал заместителем начальника лаборатории. Под его непосредственным руководством были разработаны «стержневые» радиолампы, работавшие на высоких частотах и полностью удовлетворяющие всем требованиям военных.
С 1946 — начальник лаборатории.
В 1949—1960 — директор НИИ-617 (Новосибирск). С 1951 — член КПСС.
В 1958 избран членом-корреспондентом АН СССР по Сибирскому отделению (автоматика, электротехника) (с 28 марта). С 1958 по 1961 — заведующий лабораторией вычислительной и измерительной электроники Сибирского отделения АН.
С 1961 — руководитель лаборатории электроники АН Белорусской ССР. В этот период являлся также председателем Научного совета по бионике территориальной группы АН БССР, членом бюро Отделения физико-технических наук АН БССР, членом редколлегии журнала «Известия АН БССР. Серия физико-технических наук».
В 1970—1972 — заведующий отделом внедрения новой техники в Институте общей генетики Академии наук СССР в Москве.
Разработки В. Н. Авдеева использованы при создании:
комплекса радиостанций «Марс», используемого в МВД;
армейской радиостанции Р-353, входящей в комплект снаряжения спецподразделений, парашютного десанта и ФСБ;
ранцевой УКВ-радиостанции (вес всего 2,8 кг).
В. Н. Авдеев, не имея систематического образования, не написав и не защитив диссертационных работ, стал членом-корреспондентом АН СССР за выдающиеся заслуги в разработке и конструировании электронной техники.