Родился в 1890 году в Ахене в семье врача. В 1908 году начал изучать право в Оксфорде, позже перевелся в Лозанну. Во время учебы в Лейпциге в 1909-1914 годах начал проявлять интерес к литературе и философии. В 1910 году появилась его первая книга стихов «Города, ночи и люди» (нем. «St?dte, N?chte und Menschen»). В 1914 году появилась его пьеса «Сын» (нем. «Der Sohn»), признаваемая ныне первым опытом экспрессионистской драмы. Его воодушевление в связи с начавшейся Первой мировой войной вскоре, после поступления на добровольную службу, сменилось резким протестом против войны. Газенклевер симулировал психическое заболевание и в 1917 году был уволен со службы. В том же году за свое переложение «Антигоны» Софокла он был удостоен Клейстовской Премии. В 1920-е годы издал еще несколько пьес. Позже, при нацистах, его творчество оказалось под запретом, книги были внесены в списки для сожжения. Газенклеверу пришлось эмигрировать в Ниццу. Там он женился. Во время Второй мировой войны был дважды интернирован французами как подданный враждебного государства. В ночь с 21 на 22 июня 1940 года, после падения Франции, покончил с собой в лагере для интернированных в Ле-Мийе близ Экс-ан-Прованса, чтобы не попасть в руки нацистам. С 1996 года в Ахене раз в два года вручается литературная премия его имени.