Мастер спорта международного класса (1986). Заслуженный мастер спорта СССР (1986).
В «Динамо» Киев пришёл в 1981 году. Год провёл в дубле, а в 1982 году дебютировал в Москве в матче против «Динамо», провёл на поле 90 минут. Рац признавался позже, что если бы так и не вышел в этом сезоне, то перешёл бы в московский «Спартак». У него уже была договоренность с Бесковым о переходе, но Лобановскому удалось узнать об этом и предупредить уход игрока.
Тем не менее, твёрдое место в основе Рац получил только во 2-й половине 1984 года, когда после некоторого перерыва в команду вернулся Лобановский. Со 2-го круга и до конца 1986 Рац провёл все матчи в чемпионате СССР без замен.
В начале 1989 года выехал в Испанию, где провёл 10 матчей в составе «Эспаньола» (контракт был на 3 месяца). По итогам сезона команда вылетела из высшей лиги и Рац вернулся в Киев. Позже он признавался, что по приезде он уже не испытывал удовольствия от игры, а в команде оставалось мало партнеров по «звёздному» составу 1986 года.
В конце 1990 года принял решение уйти из команды, самостоятельно тренироваться и добиться достойного контракта в западноевропейском клубе. Сам Рац был настроен уехать только в венгерские клубы. С помощью работников венгерского посольства в Киеве на него стали выходить представители ведущих нескольких венгерских клубов с интересными предложениями.
В январе 1991 года Рац должен был отправиться в Будапешт, однако в ночь с 31 декабря на 1 января у него случился приступ паралича — отнялась левая половина тела, 1,5 месяца он провёл в клинике. Спустя некоторое время Рац выехал в Венгрию и прибыл в расположение «Ференцвароша». После многочисленных медобследований заключил с клубом контракт на 2,5 года. Дебютировал в составе только летом 1991. Рац признавался, что у него отсутствовала координация, мяч в ногах не держался, а от единоборств он постоянно падал. Полных матчей в Венгрии он практически не играл.
Тем не менее руководство клуба не расторгало с ним контракт, а помогало преодолевать Рацу трудности. Однако в итоге сам Рац, чувствуя огромную ответственность перед клубом, прервал контракт.
С 1993 года занимался в Венгрии бизнесом. Сначала был коммерческим директором фирмы «Ласло Рац» по странам СНГ, ездил на украинские заводы и закупал химическое сырье для производства полиэтилена. Затем основал собственную фирму «Рац и сыновья».
С конца 1996 и до завершения сезона 1996/97 был в тренерском штабе «Ференцвароша» (2-й тренер) при главном тренере Золтане Варге.
В 2007 году получил в Киеве тренерскую лицензию Pro и работал помощником Йожефа Сабо в «Динамо».
За сборную СССР провёл 47 матчей, забил 4 гола. В сборной дебютировал в конце 1985, а последний матч провёл на ЧМ-90. Автор ярких мячей в ворота сборной Франции на ЧМ-86 и сборной Голландии на Евро-88.
Жена — Клара, племянница Иштвана Секеча. Сыновья Атилла (младший) — теннисист и Ласло — футболист.