Василий Львович родился в 1852 году. В 1876 году окончил Московский университет. Юрист. Работал приват-доцентом. В 1881 году был приглашен генерал–губернатором Восточной Сибири Д. Г. Анучиным. С 1881 по 1885 годы жил в Якутской области и на Сахалине.
Приехал в Якутск 3 октября 1881 года. Служил старшим советником Якутского областного управления. С 13 мая 1881 по 24 ноября 1884 года занимал должность вице-губернатора Якутской области.
Совершил поездку в Верхоянский и Колымский округа. Во время поездки Приклонский собрал этнографическую коллекцию по якутам, и другим народам Севера (алеутам, чукчам и т.д.). Занимался этнографическим исследованием якутов. Освобожден от должности в связи с назначением в члены Совета Главного управления Восточной Сибири от Министерства Внутренних Дел. Переехал в Иркутск. Принимал участие в работах по изучению Сибири.
В Иркутске работал управляющим 2-ого отделения управления Восточной Сибири, с 1887 года — чиновник особых поручений при Иркутском генерал-губернаторе, директор Иркутского губернского попечительского о тюрьмах Комитета и цензор газеты «Восточное обозрение». В 1884 году подарил иркутскому краеведческому музею свою этнографическую коллекцию.
В 1884 году командирован в Забайкальскую, Амурскую, Приморскую области и остров Сахалин для составления первого годового отчета по всем пунктам сосредоточения каторжан.
В 1893 году в Иркутске Приклонский издал библиографический указатель «Материалы для библиографии Якутской области» в виде приложения к газете «Восточное обозрение».
В 1896 году Василий Львович назначен исполняющим обязанности губернатора Енисейской губернии.
В 1896 году в Красноярске при помощи купца и библиофила Г. В. Юдина Приклонский издаёт свой труд «Летопись Якутского края».
Исполнял обязанности губернатора до 24 января 1897 года.
В 1897 году Василий Львович переехал в Петербург, где умер в 1898 году (по другим сведениям в 1899).