В 1920 — 1921 годах служил в Красной Армии. В 1926 году окончил Ленинградский политехнический институт, в 1930-1931 годах находился на учёбе в США Технологический институт Карнеги, где изучал металлургию. Лауреат Сталинской премии.
Работал на инженерных должностях, в 1940 году стал заместителем председателя Госплана СССР. Был заместителем Члена Государственного Комитета Обороны Маленкова Г. М. по металлургии. Председатель Президиума ВЦСПС с 15 марта 1944 года по 12 марта 1953 года.
Председатель Совета Национальностей Верховного Совета СССР с 12 марта 1946 года по 12 июня 1950 года, сменил в должности Н. М. Шверника, преемник Ж. Ш. Шаяхметов. В 1952—1953 годах член Постоянной комиссии по внешним делам при Президиуме ЦК КПСС.
В 1953 году был послом СССР в Китае. В 1955 году стал первым заместителем Министра иностранных дел СССР, пробыв в должности до 1977 года.
Первый заместитель Председателя Президиума Верховного Совета СССР с 1977 по 1986. В начале 1980-х годов (см. «эпоха пышных похорон») трижды исполнял обязанности номинального главы советского государства — Председателя Президиума ВС СССР:
Во время исполнения полномочий Кузнецову было соответственно 81-82, 82-83 и 84 года, таким образом, он является старейшим из всех глав советского и российского государства и правительства за всю отечественную историю.
На пенсии находился с июня 1986 года.
Умер 5 июня 1990 года в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.