Василий Кошечкин — воспитанник спортивной детско-юношеской школы олимпийского резерва по хоккею с шайбой (СДЮШОР) хоккейного клуба «Лада». Его первым тренером был заслуженный тренер России Николай Николаев. Свою профессиональную карьеру Василий начал в 2002 году в составе клуба Высшей лиги кирово-чепецкой «Олимпии». В том же сезоне Кошечкин также выступал в составе альметьевского «Нефтяника». Также в том году на драфте НХЛ Василий был выбран в 8 раунде под общим 233 номером клубом «Тампа Бэй Лайтнинг».
В 2003 году Кошечкин дебютировал в Суперлиге в составе родной «Лады», где и выступал до 2007 года, дважды став призёром российских первенств. Сезон 2007/08 Василий провёл в казанском «Ак Барсе», после чего вновь вернулся в Тольятти. В середине сезона 2009/10 Кошечкин стал игроком магнитогорского «Металлурга». 30 июня 2010 года Василий подписал контракт с череповецкой «Северсталью», в составе которой в сезоне 2010/11 провёл 38 матчей с коэффициентом надёжности 2.81. Также Кошечкин был признан лучшим игроком «Северстали» по версии болельщиков череповецкого клуба, набрав 29,92% голосов. 19 мая 2011 года Василий продлил своё соглашение со «сталеварами» ещё на 2 года.
В составе сборной России Василий Кошечкин принимал участие в четырех чемпионатах Мира: (2007, 2009, 2010 и 2011). Василий — обладатель всех видов медалей мировых первенств. Также Кошечкин призывался в состав сборной для участия в матчах Еврохоккейтура.