Вегард за свою карьеру на высшем уровне играл лишь за два клуба. Он начал выступать за норвежский «Русенборг» и три года подряд становился с ним чемпионом Норвегии. В 1996 году в матче против «Милана» в Лиге чемпионов на «Сан-Сиро» он забил гол, который позволил его клубу сенсационно выйти в четвертьфинал соревнований.
В 1998 году Хеггем дебютировал в составе первой сборной Норвегии, 25 февраля сыграв в товарищеском матче против французов и забив в этой встрече гол. В этой игре ему противостоял будущий партнёр по «Ливерпулю», проводивший свой второй матч за сборную Бернар Диомед. В составе сборной Норвегии Вегард принял участие в чемпионате мира во Франции, но ни одного матча на турнире не провёл.
После завершения чемпионата мира Хеггем за три с половиной миллиона фунтов перешёл в «Ливерпуль». Два первых сезона в клубе он провёл очень хорошо, однако затем обладавшего хорошим пасом игрока стали мучить травмы подколенного сухожилия. Он играл на чемпионате Европы 2000 года, однако получил травму уже во втором матче турнира. В сезоне 2000/2001 он появился на поле лишь в нескольких матчах, а в течение двух последующих лет вообще не появлялся в заявке клуба.
Летом 2003 года контракт Хеггема с «Ливерпулем» истёк, и спустя непродолжительное время Вегард в возрасте всего 28 лет завершил карьеру.
В настоящее время Вегард является владельцем и управляющим небольшим предприятием, занимающимся ловом лососёвых на реке Оркла в Сёр-Трёнделаг.
С лета 2008 года Хеггем вместе с Эриком Мейером и Джоном Олдриджем является патроном полу-профессионального клуба АФК «Ливерпуль», который создан болельщиками «Ливерпуля» в качестве альтернативы для тех фанов «красных», которые не могут позволить себе посещать матчи на «Энфилде» еженедельно. В сезоне 2008/2009 эта команда выступает в Первом дивизионе лиги Северо-западных графств (10 уровень чемпионата Англии).
В 2002 году в книге под названием «Народная футбольная книга. Величайшие моменты» (норв. Folkets Fotballbok. De st?rste ?yeblikkene), выпущенной спортивным журналистом Оддлейфом Моэ, гол Вегарда в матче против «Милана» на «Сан-Сиро» был назван одним из двенадцати величайших моментов в истории норвежского футбола. Глава, посвящённая этому голу, называется «Чудо на „Сан-Сиро“» (норв. Mirakelet p? San Siro).