Академик Академии наук СССР (1953), Герой Социалистического Труда (1956), лауреат Ленинской (1962) и трёх Сталинских (1946, 1951 и 1955) премий.
Учился в Петроградском и Донском политехнических институтах.
В 1922—1928 годах работал главным инженером электровакуумного завода в Ленинграде. В 1928—1936 годах заведовал вакуумной лабораторий, в 1936—1938 годах главный инженер завода «Светлана». В октябре 1937 года был снят с должности главного инженера, переведён в конструкторы Отраслевой вакуумной лаборатории (Ленинград), репрессирован и с начала 1938 года до второй половины 1939 года находился в местах заключения.
В 1939—1941 годах — консультант завода «Светлана» в Ленинграде.
Июль 1943 — апрель 1944 — первый директор первого в СССР НИИ электровакуумной техники (НИИ-160), ныне НПП «Исток» (г. Фрязино Московской обл.)
В 1941—1944 годах в Новосибирске разработал новый метод получения и исследования сплавов переменного состава в вакууме (Сталинская премия, 1946).
Член-корреспондент АН СССР с 1946, академик с 1953 года.
С 1947 по 1974 годах — директор НИИ вакуумной техники. Сделал ряд изобретений в области электроники и вакуумной техники.
За исключительные заслуги в развитии радиоэлектроники Академия наук СССР в 1962 году присудила ему Золотую медаль имени А.С.Попова.
Награждён 3 орденами Ленина, орденом Трудового Красного Знамени и медалями.
Имя академика С. А. Векшинского решением Советского правительства присвоено в 1976 году научно-исследовательскому институту, созданному и работавшему в течение 27 лет под его руководством.
Векшинские жили на порховской земле со времён царя Алексея Михайловича, были «вёрстаны поместьями» за службу в казачьем полку.
Дед учёного Николай Степанович с шестью сыновьями, родившимися в г. Порхове, перебрался незадолго до смерти в Псков. Его младший сын Аркадий Николаевич учился в Псковском Сергиевском реальном училище, затем с 1893 по 1902 годах (с небольшим перерывом) служил в канцелярии псковского губернатора. В Пскове семья Векшинских снимала квартиру по Сергиевской улице (ныне Октябрьский проспект) в доме Гельдта. Здание было построено в 1890 году в качестве доходного дома с квартирами, сдаваемыми в наём, и магазинами по первому этажу.
В анкете, хранящейся в личном деле С. А. Векшинского в НИИ электровакуумной техники, он указал точное место рождения: «г. Псков, Сергиевская ул., д. Гельдта». Этот адрес подтверждается следующим объявлением, появившимся в газете «Псковский городской листок» 11 сентября 1896 года, то есть за месяц до рождения Сергея Аркадьевича: «Ищут опытную няню к новорождённому, обращаться Сергиевская ул., дом Гельдта, кв. Векшинских». Из двух домов на Сергиевской улице, принадлежавших богатейшему псковскому домовладельцу К. И. Гельдту, этот адрес относится к сохранившемуся дому № 22 по современному Октябрьскому проспекту, находящемуся на углу улицы Некрасовской. Другой, несохранившийся дом Гельдта по той же Сергиевской улице располагался на месте нынешнего Сквера псковских партизан, но в нём размещалась гостиница «Париж», имевшая более 20 меблированных комнат. Бабушка академика Елизавета Ивановна Векшинская продолжала жить в той же квартире; в списке жителей города Пскова, уплачивавших специальный квартирный налог за 1910 год, она указана, как владелица квартиры в доме Гельдта по Сергиевской улице, расположенном во 2-й полицейской части г. Пскова, что и соответствует сохранившемуся дому № 22 по Октябрьскому проспекту.
Несохранившийся дом Гельдта по Сергиевской улице входил в другую, 4-ю полицейскую часть г. Пскова и к тому же в нём не было квартир, подлежащих обложению квартирным налогом. Здание пострадало в годы Великой Отечественной войны, но стены — хорошей сохранности. Восстановлено в 1946 году. При этом произведена значительная внутренняя перепланировка, увеличено общее количество квартир за счёт резкого уменьшения размеров бывших барских квартир. Вместо чердака также устроены новые квартиры, составившие дополнительный четвёртый этаж с окнами во двор. Позднее утрачены лепные атланты, поддерживавшие угловой эркер центрального (южного) угла здания, выходящего на перекрёсток улиц, — они заменены лепными кронштейнами.