Обучался в Киевской консерватории по классам фортепиано у Феликса Блуменфельда, Болеслава Яворского и Григория Когана, теории музыки — также у Яворского и Альшванга.
В студенческие годы был дружен с Владимиром Горовицем. В 1923—1926 годах читал лекции в Киевской консерватории, затем — преподавал в Московской консерватории, в 1936—1942 — заведующий кафедрой теории музыки, с 1939 — профессор.
В 1931 году получил степень кандидата, в 1958 — доктора искусствоведения. Вёл также активную деятельность в Союзе композиторов СССР, был награждён орденом Трудового Красного Знамени (1947), орденом Ленина (1953), в 1966 году получил звание Заслуженного деятеля искусств РСФСР. Среди учеников Цуккермана — многие известные музыковеды, в том числе Попов, Иннокентий Евгеньевич, Галина Григорьева и Инна Барсова, композиторы — Эдисон Денисов, Андрей Эшпай, Николай Пейко.
Цуккерман — один из основоположников современного отечественного музыковедения. В своих работах он фокусировал внимание прежде всего на теории и методологии музыкального анализа. Вместе со Львом Мазелем, Иосифом Рыжкиным и другими музыковедами своего времени Цуккерман развивал метод «целостного анализа», основанный на интерпретации сочинения через детальное исследование мелодии, гармонии, ритмических и синтаксических структур и форм.
Значителен вклад Цуккермана в литературу по истории музыкальных форм: в своей книге «Вариационная форма», выпущенной в 1974 году, он описал развитие вариаций со времён Палестрины до Стравинского и Бартока, как и в другом своём масштабном труде — «Рондо в его историческом развитии» (1988—1990). Большую научную ценность также имеют монографии Цуккермана, посвящённые Глинке (1957) и Листу (1984), в которых автор анализирует творчество композиторов, взяв в качестве фундамента по одному произведению, в котором наиболее ярко проявились характерные черты их стиля («Камаринская» Глинки и Соната h-moll Листа, соответственно). В 1971 году увидела свет книга Цуккермана «Выразительные средства лирики Чайковского», над которой он работал около тридцати лет. В ней автор отражает отличительные черты лирического мелодизма Чайковского, основываясь на анализе взаимосвязи музыки композитора с его мыслительным процессом, а также приводит систематизацию применяемых им методов мелодического развития.
Учебные и методические работы Цуккермана сегодня широко используются при обучении.