Родился в семье преподавателя механико-математического факультета МГУ (позднее профессора) Анатолия Михайловича Васильева (1923-1987).
Окончил механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова в 1978 г., аспирантуру там же в 1981 г. (руководитель — В. И. Арнольд). Кандидат физико-математических наук с 1982 г. (руководитель — В. И. Арнольд). Доктор физико-математических наук с 1992 г.
Премия Московского Математического общества за 1985 г. за цикл работ «Характеристические классы волновых фронтов». Пленарный доклад на Международном конгрессе математиков в Цюрихе (1994 г.).
С 30 мая 1997 года — член-корреспондент РАН (отделение математики).
С 22 мая 2003 года — академик РАН.
Был членом исполкома Международного Математического союза (2004—2010). С 2007 г. — председатель экспертного совета ВАК по математике и механике.
Главный научный сотрудник Математического института им. В. А. Стеклова РАН.
С 2008 года — профессор и заведующий кафедрой геометрии и топологии факультета математики ГУ-ВШЭ.
Преподает также в Независимом московском университете.
Член редколлегий журналов:
22 июня 2010 года, в связи со смертью президента Московского математического общества В. И. Арнольда (1937—2010), на заседании Московского математического общества было принято решение об утверждении В. А. Васильева исполняющим обязанности президента ММО. 14 сентября 2010 года он был избран президентом ММО.
Теория особенностей, комплексный анализ, топология, дифференциальные уравнения в частных производных, комбинаторика.
Расширенные русские переводы перечисленных работ: