Родился 19 сентября 1908 года в Вене. Окончил Гёттингенский университет в 1931 году. В 1932—1933 годах работал там же. В 1934 году получил диплом доктора философии по физике и переехал в Цюрихский технологический институт, где проработал до 1936 года. Параллельно стажировался у Нильса Бора в Копенгагенском университете.
В 1937 году незадолго до того, как к власти в Австрии пришли нацисты, Вайскопф перебрался в США, где получил должность инструктора, а затем ассистент-профессора в Рочестерском университете. В 1943 году вместе с многими другими учёными Вайскопф присоединился к Манхэттенскому проекту по разработке атомной бомбы. В тот же год он получил американское гражданство.
В 1945 году после окончания войны Вайскопф был принят на должность адъюнкт-профессора физики в Массачусетский технологический институт, однако получил разрешение закончить свою работу в Лос-Аламосе. В 1946 году он возвращается в институт уже в должности полного профессора и чуть позже возглавляет теоретическую группу, работавшую в области ядерной физики. В соавторстве с Джоном Блаттом Вайскопф написал учебник «Теоретическая ядерная физика» (англ. «Theoretical Nuclear Physics»), являющийся одним из самых востребованных учебников в этой области знаний.
В 1949 году Вайскопф становится членом комитета учёных по вопросам безопасности, главой которого был Альберт Эйнштейн. Комитет настаивал на контроле за атомным вооружением и предпринимал попытки сблизить взгляды Востока и Запада в вопросах атомной безопасности. Вайскопф был одним из участников манифеста против водородной бомбы в 1950 году и принимал участие в компании по обмену учёными между США и странами остального мира.
В 1961 году Вайскопф переезжает в Женеву в CERN. Здесь до 1965 года он занимает должность генерального директора и возглавляет международное исследовательское учреждение, обладающее вторым по мощности ускорителем частиц в мире. Под его руководством CERN стал одним из ведущих научных институтов мира.
В 1966 году Вайскопф возвращается в Массачусетский технологический институт, где получает ранг институтского профессора. В 1967—1973 годах он возглавляет физический факультет, где создаёт группу, которая впоследствии станет Центром теоретической физики в институте. 20 июля 1974 Вайскопф официально уходит на пенсию.
После ухода из института Вайскопф разворачивает бурную деятельность по привлечению внимания общественности к вопросам ядерной безопасности. В 1983 году в интервью он называет ядерную бомбу «тенью своей жизни».
В 1930-х годах под руководством Нильса Бора занимался излучением внутренних электронов атома. Описал влияние конечности размеров ядра на тонкую структуру уровней (так называемый эффект Бора — Вайскопфа). Показал, что уширение линий в спектре излучения определяется соотношением неопределённости Гейзенберга. В Цюрихе сконцентрировался на разработке квантовой теории поля. В этой области совместно с Паули ему удалось показать возможность построения самосогласованной теории скалярного поля, что позволило ему 1934 году дать квантовомеханическое описание заряженных бозонов. В 1936 году разработал теорию поляризации вакуума. В рочестерский период занимался ядерной физикой, разработав наряду с Х. Бете и Л. Д. Ландау статистическую теорию ядра. В 1938 году предсказал эффект кулоновского возбуждения ядер. В 1943—1946 годах работает над атомным проектом. После войны занимается различными вопросами ядерной физики. В 1950 году совместно с Э. Конуэллом описал рассеяние носителей заряда в твёрдых телах на заряженных центрах. В 1954 году совместно с Г. Фешбахом и К. Портером разработал оптическую модель ядра атома.