Файл:Kuzkin.jpg
Виктор Кузькин в составе сборной СССР
Отец Виктора Кузькина ушел на фронт, едва началась война, и вскоре погиб. Детство прошло в обычном московском дворе на задворках Боткинской больницы, где его мать работала санитаркой. Рядом с больничными корпусами была оборудована футбольная площадка, которую зимой заливали водой и где постоянно играли в футбол или русский хоккей. Кроме того, в детстве занимался несколькими видами спорта — от коньков до волейбола и бокса.
Первые свои матчи Кузькин сыграл на стадионе Юных пионеров, куда в 1953 году его привел один из приятелей. Вскоре Кузькин стал посещать спортивную школу ЦСКА. Был зачислен в юношескую хоккейную команду ЦСКА, откуда спустя некоторое время перешел в главную команду — ЦСК МО. В юношеских командах начинал как нападающий, во взрослой, по предложению Тарасова, стал защитником.
Всю игровую карьеру провел в составе ЦСКА — 1958—1976 гг. Рекордсмен страны по количеству выигранных чемпионских титулов в первенствах СССР — 13 раз (совладелец рекорда — Владислав Третьяк). В сборной СССР долгое время был капитаном. Был одним из самых корректных защитников своего времени.
В 36 лет Кузькин закончил карьеру хоккеиста и по просьбе старшего тренера ЦСКА Константина Локтева стал работать его помощником. Тренер ЦСКА в 1976—1988 гг. и в 1991—1999 гг.
В 1988—1991 — тренер-консультант (вместе с Сергеем Шепелевым) в японском клубе «Джуджо Сэйси» (город Кусира). Два сезона подряд завоевывали бронзу в чемпионате Японии по хоккею.
В 1999 ушел из ЦСКА по собственному желанию и почти год проработал тренером-консультантом в ЦСК ВВС (Самара).
С 2000 по инициативе Виктора Кузькина был создан Фонд поддержки и развития любительского хоккея, который носит его имя.
Окончил МОПИ (1969), тренер. Подполковник в отставке.
Награжден двумя орденами «Знак Почёта» (1965, 1972) и орденом Почета (1996). В связи с 50-летием российского хоккея отмечен специальным призом Федерации хоккея России в числе шести лучших защитников страны за всю историю.
В 2004 избран в Зал славы отечественного хоккея. В 2005 году введен в Зал славы Международной федерации хоккея. (IIHF).
Последние годы ежегодно занимался в Сочи дайвингом. Отдыхая в сочинском военном санатории имени Яна Фабрициуса на берегу Черного моря, он решил в очередной раз погрузиться на морское дно с аквалангом. Во время одного из погружений у спортсмена не выдержало сердце.
Похоронен на Ваганьковском кладбище.