Воспитанник юношеской московской команды «Авангард» (1954—1955) и ФШМ при стадионе имени В. И. Ленина — 1956—1959. В конце карьеры выступал за команду брянского «Динамо» (1972).
Один из ведущих игроков в 60-х годах. В 1963-71 годах неизменно был капитаном команды (122 матча в Чемпионате СССР).
По окончании футбольной карьеры работал в аппарате МВД СССР, одно время работал тренером юношеских команд на московском стадионе «Авангард».
Прекрасно координированный, прыгучий, пластичный. Болельщики, относившиеся к нему с редкой теплотой, и прозвище дали ему ласковое — Анюта. Не только благодаря фамилии, а ещё и за нетипичную для защитника удивительно мягкую, техничную, пластичную игру. При достаточно мощной фактуре он брал соперника не грубой силой, а, входя в контакт, опутывал его, словно осьминог, и изымал у него мяч так, что тот не успевал опомниться. Отлично играл головой, часто забивал в прыжке решающие мячи (один из голов финального матча Кубка СССР 1967 года на его счету). В совершенстве владел подкатом, с помощью этого приёма часто ликвидировал самые напряжённые моменты у ворот своей команды (подкаты исполнял на уровне своего учителя и предшественника в центре обороны «Динамо» — короля этого труднейшего приёма Константина Крижевского). Прекрасно владел первым пасом и нередко начинал голевые динамовские атаки. Светлая голова наряду с перечисленными качествами сделала его незаменимым игроком в глазах Константина Бескова — как в «Динамо», так и в сборной СССР.
Если бы не тяжёлые травмы, из-за которых приходилось иногда пропускать по целому сезону, его показатели в сборной были бы гораздо внушительнее. Также из-за травм не попал на Чемпионат мира-66. Был горячим патриотом своего клуба и на вопрос, почему не принял приглашения «Спартака» или «Торпедо», отвечал: «„Динамо“ — это судьба!»
Умер от сердечной недостаточности в 33 года, вскоре после завершения карьеры игрока.
В 1993-97 годах в Москве проводился традиционный турнир команд ветеранов, посвящённый памяти Аничкина.