На драфте НХЛ 1993 года выбран в 1 раунде под общим 6 номером командой «Сан-Хосе Шаркс». 13 ноября 1997 года обменян во «Флориду Пантерз». 1 марта 2004 года обменян в «Нью-Джерси Девилз». 13 сентября 2006 года как неограниченно свободный агент подписал контракт с «Нью-Йорк Айлендерс». В 2007—2009 играл за «Вашингтон Кэпиталз». Интересно, что только в своём последнем, 15-м по счёту сезоне в НХЛ 2008/09 Козлов забросил свои первые шайбы в матчах плей-офф, отличившись четырежды.
Лучшим в НХЛ с точки зрения личной статистики для Виктора стал сезон 1999/2000, когда он в 80 матчах регулярного чемпионата набрал 70 очков (17+53).
3 декабря 2006 года в «Мэдисон Сквер Гарден» забросил 4 шайбы в ворота «Нью-Йорк Рейнджерс» («Айлендерс» победили 7-4). За сутки до этого забросил две шайбы в гостевом матче в ворота «Питтсбург Пингвинз», таким образом добившись редкого достижения — 6 шайб за 24 часа.
После окончания сезона в НХЛ 2008/09 года решил вернуться в Россию, подписав контракт с ХК «Салават Юлаев». В клубе выступает под номером 25.