Родился в Харькове. Во время Великой Отечественной войны служил в танковых войсках, был ранен. В 1946 году выпустил сборник стихов «Весна победителей». Был подвергнут критике за формализм, его сравнивали с Хлебниковым. Поступил в Литературный институт, окончив его в 1948 году, ученик Павла Антокольского. Совершил путешествие из Москвы во Владивосток и обратно на автомашине и издал об этом интересную книгу репортажей и стихов. Привёз в Москву орла и ходил с ним по улицам. За разведение у себя в квартире костра получил 15 суток ареста.
В начале 1970-х годов о поэзии Урина хорошо отзывались Михаил Луконин и Владимир Солоухин.
В 1974 году Урина исключили из Союза писателей СССР. Впоследствии он выпускал в «самиздате» журнал «Мост».
В 1977 году эмигрировал в США. Жил в Нью-Йорке, где продолжал поэтическую деятельность.