В историю клуба «Валенсия» Висенте Асенси вошёл как один из футболистов легендарной «электрической атаки» (исп. delantera el?ctrica) 40-х годов XX века. Воспитанник валенсийского футбола, Асенси всю свою карьеру провёл в воспитавшем его клубе, отдав «Валенсии» в общей сложности 14 лет.
Воспитанник футбольного клуба «Валенсия», Висенте Асенси дебютировал в Примере в 1940 году, в пятёрке форвардов клуба, вошедшей в историю испанского футбола как «электрическая атака» (Мундо, Горостиса, Эпи, Амадео, Асенси), выступая на позиции левого инсайда. Уже в дебютном сезоне молодой форвард завоевал первый из своих трофеев, став в составе «Валенсии» победителем Кубка Испании. В сезоне 1941/42, первом чемпионском сезоне «Валенсии», на счету Асенси 18 мячей из 81, забитого нападающими клуба.
Начав карьеру как нападающий, в дальнейшем Висенте Асенси переместился в полузащиту. Последние годы футболист провёл уже как защитник, таким образом успев сыграть за клуб на всех позициях (кроме вратарской).
Карьеру профессионального футболиста Висенте Асенси закончил в 1952 году, все 12 лет проведя в футболке «Валенсии». К этому времени в копилке завоёванных им трофеев были три титула чемпиона Испании и два Кубка страны.
В национальной сборной Висенте Асенси дебютировал в 1945 году, в матче против сборной Португалии. Последним матчем игрока за «Красную фурию» стал матч чемпионата мира 1950 года, в котором испанцы уступили сборной Швеции 1:3 (таким образом лишившись медалей чемпионата).
Итого: 6 матчей / 0 голов; 4 победы, 1 ничья, 1 поражение.
Тренировал клубы «Онда» и «Кастельон».