В 1975 году окончил физико-математическую школу при МГУ им. М. В. Ломоносова, созданную университетом для особо одаренных детей (ФМШ 18). В 1980 году закончил механико-математический факультет МГУ и затем аспирантуру, в 1984 году стал кандидатом физико-математических наук (научным руководителем Вислого был академик Георгий Иванович Петров и профессор Владимир Петрович Стулов).
До РГБ работал в Институте Механики МГУ, занимался задачами, связанными с движением космических тел. Был приглашен в Научную библиотеку МГУ для решения задач по автоматизации и компьютеризации библиотечных процессов. Вислый — один из создателей Русского формата МАRС, созданного для перевода информации с бумажных носителей в электронный вид. Успешная реализация планов по компьютеризации Научной библиотеки МГУ привлекла внимание руководителей вузов и других организаций к проблемам библиотек и к осознанию значимости библиотек не только как хранилищ книг, но и как информационных центров. Александр Вислый был назначен заместителем директора Научной библиотеки Московского государственного университета. Позже его попросили одновременно возглавить информационный отдел «Роснефти».
В Российской государственной библиотеке Александр Иванович работает с 1998 года — сначала помощником директора по автоматизации, затем заведующим Центром информационных технологий, с 2001 по 2009 год — заместителем генерального директора РГБ, директором по информатизации.
С 1999 по 2001 год занимал должность начальника ГИВЦ Министерства культуры РФ, не оставляя работу в Российской государственной библиотеке.
В октябре 2009 года Распоряжением Председателя Правительства Российской Федерации Владимира Путина А. И. Вислый назначен генеральным директором Российской государственной библиотеки.
Подписал Открытое письмо в Государственную Думу, в котором совместно с другими подписантами считает необходимым обратить внимание власти на непреодолимые сложности, связанные со спецификой российского законодательства в области авторских прав, которые способны поставить крест на попытках модернизации и существенно ограничить потенциал развития общества в условиях перехода к информационной экономике.
При руководстве Вислого и его непосредственном участии, начиная с 1999 года, в Российской государственной библиотеке открывались залы, ориентированные на электронные технологии:
Александр Иванович активно участвовал в создании Президентской библиотеки им. Б. Н. Ельцина, при его поддержке создавались и работают такие организации, как Российский информационно-библиотечный консорциум (РИБК), Некоммерческая организация Фонд «Электронный век культуры», Некоммерческое партнерство «Российская ассоциация электронных библиотек» (НП ЭЛБИ).
Александр Вислый неоднократно получал благодарность Министерства культуры России «за многолетний и добросовестный труд и активное участие в обеспечении развития информатизации отрасли культуры РФ». Лауреат ежегодной национальной премии «IT-ЛИДЕР-2003» — «За значительный вклад в развитие информационных технологий в России».
В 2008 году стал лауреатом премии IT-ЛИДЕР в номинации «Обеспечение открытости общества» за создание в рамках проекта Национальной электронной библиотеки самого крупного в Европе электронного хранилища книг.