Родился 28 июня 1923 года в городе Тирасполь (ныне ПМР) в семье служащего. Русский. Учился в школе № 1 (ныне гуманитарно-математическая гимназия) Тирасполя. В 1930-х годах семья переехала в город Алупка. За день до начала Великой Отечественной войны 21 июня 1941 года окончил десять классов средней школы № 1 города Алупки. И через два дня, 23 июня уехал в Харьков и поступил в Харьковское танковое училище. Осенью 1941 года училище было эвакуировано в узбекский город Чирчик, а в июле 1942 года лейтенант В. А. Бочковский окончил училище и попал на фронт в 1-ю гвардейскую танковую бригаду.
Своё боевое крещение получил на Брянском фронте:
В одном из боёв 12 августа 1942 года на Брянском фронте в районе деревни Скляево был тяжело ранен в левое бедро. Раненого командира, не имевшего возможности самостоятельно выйти из боя, спас боевой товарищ сержант Виктор Фёдоров (позднее за спасение жизни офицера в бою он был награждён орденом Красного Знамени). После излечения в госпитале в Мичуринске вернулся в 1-ю гвардейскую танковую бригаду.
Затем воевал на Калиниском фронте, в составе которого 1-я гвардейская танковая бригада вела позиционные бои.
21 декабря 1942 года при потере радиосвязи с ушедшими вперёд танками командир роты танков Т-34 2-го танкового батальона лейтенант В. А. Бочковский под артиллерийским и миномётным огнём дошёл пешком до деревни Верейста и, выяснив обстановку, доложил на командный пункт (КП) батальона. На следующий день, ему было поручено срочно доставить питание и боеприпасы к танкистам, которые занимали позиции в районе деревень Большое и Малое Борятино. Оперативно выполнив это поручение на Т-70, он лично участвовал в разгрузке, а затем, уточнив обстановку, явился на КП с докладом. По мнению командира 2-го танкового батальона гвардии капитана Вовченко, В. А. Бочковский «во время боевых действий с 21.12.1942 и по настоящее время показал себя смелым, энергичным и инициативным командиром». За этот эпизод он был награждён медалью «За отвагу».
С 1943 года — член ВКП(б)/КПСС. Принимал активное участие в Курской битве, во время которой «за мужество и отвагу, умелое руководство ротой в бою» был награждён орденом Красного Знамени. 6 июля 1943 года в районе деревни Яковлево рота средних танков Т-34 гвардии старшего лейтенанта В. А. Бочковского противостояла наступающему противнику, который предпринимал на данном участке атаки численностью до 100 танков при массированной поддержке авиации и артиллерии. В результате, на боевом счету экипижа В. А. Бочковского оказалось 3 немецких танка, а всего танкисты его роты подбили и уничтожили 16 танков противника, из которых 3 — тяжёлых танка «Тигр».
Второй раз тяжело ранен 26 декабря 1943 года.
В 1944—1945 годах принимал активное участие в танковых рейдах в тыл противника. За один из таких рейдов, в результате которого в тылу у немцев на Днестре был освобождён и удерживался до подхода главных сил город Чортков, заместитель командира танкового батальона 1-й гвардейской танковой бригады гвардии капитан В. А. Бочковский удостоился звания Героя Советского Союза.
21 марта 1944 года В. А. Бочковский с группой танков форсировал реку Теребна у села Романово Село Збаражский района Тернопольской области и захватил плацдарм. В бою за расширение плацдарма было уничтожено 16 орудий, 4 штурмовых орудия, более двухсот автомашин. 22 марта 1944 года в районе города Теребовля Тернопольской области — три танка, пять миномётов, до пятидесяти автомашин и более взвода солдат и офицеров противника.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 апреля 1944 года «за образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные при этом мужество и героизм» гвардии капитану Владимиру Александровичу Бочковскому присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 2409).
Принимал участие в танковом рейде в Карпатах, в результате которого был освобожден город Коломыя, крупный узел железных и шоссейных дорог. 15 января 1945 года командиру 2-го танкового батальона гвардии капитану В. А. Бочковскому была поставлена задача прорваться в тыл противника на 75 км и, не вступая в бой, обходя опорные пункты, захватить транспортные узлы, перерезать транспортные коммуникации в тылу противника и дождаться подхода основных сил. По мнению командира 1-й гвардейской танковой бригады гвардии полковника Темника, несмотря на сильное противодействие немецкой 19-й танковой дивизии, Бочковский выполнил эту задачу блестяще. В результате операции также был освобождён город Нове-Място и форсирована речка Пилица, на берегу которой захвачен плацдарм.
За этот эпизод был представлен ко второй звезде Героя Советского Союза, но по предложению командования 1-й гвардейской танковой армией был награждён орденом Суворова III степени (17 февраля 1945).
На Зееловских высотах получил своё последнее и самое тяжёлое ранение — в живот. Из госпиталя вышел только осенью 1945 года. Всего за годы войны был ранен шесть раз, из них четыре тяжелых и два легких ранения. Кроме того, получил три тяжёлых контузии, перенёс семнадцать операций.
За войну пять раз горел. Его личный счёт составил 36 бронеединиц противника.
После войны продолжил военную службу. В 1954 году окончил Военную академию бронетанковых войск, в 1964 году — Военную академию Генерального штаба. С 1980 года генерал-лейтенант танковых войск В. А. Бочковский — в отставке. Жил в в городе Тирасполь, работал в ветеранских организациях, занимался вопросами увековечения памяти павших.
Скончался 8 мая 1999 года. Похоронен в Тирасполе, на аллее Славы кладбища «Дальнее».
Почётный гражданин городов Тирасполь (Приднестровье), Строитель Белгородской области и посёлка Яковлево Белгородской области, украинских городов Чортков (Тернопольская область), Коломыя (Ивано-Франковская область), польских городов Болеславец, Бялогард, Нове-Място, Лодзь, также Лодзевского воеводства Польши и Резинского района Молдавии.
В Тирасполе в его честь назван переулок, а на доме, где он жил, установлена мраморная мемориальная доска.
По рассказам жены Нины Бочковской,
Отец — Александр Владимирович Бочковский, кондитер, во время немецкой оккупации был угнан на работы в Германию (город Дармштадт). Мать — Клавдия Ивановна, занималась домашним хозяйством. Брат — Анатолий.
Жена — Нина Бочковская. Сын — Александр Владимирович Бочковский, полковник, старший офицер Генштаба Российской армии.