Его отец, Фриц Виндгассен, был тенором Штутгартской государственной оперы и, позднее, профессором Высшей музыкальной школы Штутгарта. Мать, Валли ван Остен, была известной певицей-сопрано (равно как и её сестра, Ева фон дер Остен).
Вольфганг Виндгассен сначала был техническим сотрудником Штутгартской государственной оперы. Обучался пению у отца и в Высшей музыкальной школе Штутгарта. В 1939 году дебютировал в Пфорцхайме в партии Пинкертона в опере Пуччини «Мадам Баттерфляй». В 1945 году был приглашён в Штутгартскую государственную оперу, солистом которой оставался до самой смерти.
Вскоре Виндгассен приобрёл славу прежде всего вагнеровского певца. В 1951—1970 годах он регулярно участвовал в вагнеровском фестивале в Байройте где исполнял все партии для своего типа голоса. В 1967 году стал почётным гражданином Байройта.
Участвовал в первой студийной записи «Кольца Нибелунга» под управлением сэра Георга Шолти.
Гастролировал в Вене, Лондоне, Милане, Париже, Буэнос-Айресе, Нью-Йорке и многих других городах.
С 1970 года работал также как оперный режиссёр. В 1972—1974 годах был художественным руководителем Штутгартской государственной оперы, где, в частности, поставил «Бориса Годунова».
Был женат на сопрано Лоре Виссман.
Виндгассена отличали тонкая музыкальность и драматическая насыщенность исполнения. Он принадлежал к наиболее выдающимся певцам-актёрам своего поколения. Его высочайшими достижениями за пределами вагнеровского репертуара считаются роли Флорестана в «Фиделио» Бетховена и Отелло в одноименной опере Верди.